- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
给出下列命题:
①若f'(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处有极值;
②m>0是方程+
=1表示椭圆的充要条件;
③若f(x)=(x2-8)ex,则f(x)的单调递减区间为(-4,2);
④A(1,1)是椭圆+
=1内一定点,F是椭圆的右焦点,则椭圆上存在点P,使得PA+2PF的最小值为3.
其中为真命题的序号是______.
正确答案
若f'(x0)=0,函数f(x)在x=x0处可能取极值,但如果在x0两边单调性一致,则函数f(x)在x=x0处不取极值,故①错误;
m>0且m≠0,是方程+
=1表示椭圆的充要条件,故②错误;
若f(x)=(x2-8)ex,则f′(x)=(x2+2x-8)ex,当x∈(-4,2)时,f′(x)<0,∴f(x)的单调递减区间为(-4,2),故③正确;
A(1,1)是椭圆+
=1内一定点,F是椭圆的右焦点,则椭圆上存在点P(
,1),使得PA+2PF的最小值为3,故④正确;
故答案为:③④
已知:命题p:方程+
=1表示焦点在y轴上的椭圆.命题q:双曲线
-
=1的离心率e∈(2,3).若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.
正确答案
若p为真,则,得到0<m<5;
若q为真,则4<<9,即4a2<a2+b2<9a2,得到3a2<b2<8a2,于是6<3m<16,可得,2<m<
.
由由题p∨q为真,p∧q为假,可知p真q假,或p假q真.
p真q假时,,得到0<m≤2;
p假q真时,,得到5≤m<
;
综上所述,实数m的取值范围为(0,2]∪[5,).
以下四个命题:
①已知A、B为两个定点,若|PA|+|PB|=k(k为常数),则动点P的轨迹为椭圆.
②双曲线-
=1与椭圆
+y2=1有相同的焦点.
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若=
(
+
),则动点P的轨迹为椭圆;
其中真命题的序号为______.
正确答案
①根据椭圆的定义,当K≤|AB|时,动点P的轨迹不是椭圆,∴①错误;
②双曲线与椭圆的焦点坐标都是(±,0),∴②正确;
③方程2x2-5x+2=0的两根可分别2和,∴③正确;
④根据向量加法的平行四边形法则P为AB的中点,在单位圆x2+y2=1,设P(x,y),A(-1,0),B(x1,y1)
x1=2x+1,y1=2y代入圆的方程得(2x+1)2+(2y)2=1,轨迹是圆,∴④错误.
故答案是②③
①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”.
②在平面内,F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足||MF1|-|MF2||=4,则点M的轨迹是双曲线.
③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件.
④“若-3<m<5则方程+
=1是椭圆”.
⑤在四面体OABC中,=
,
=
,
=
,D为BC的中点,E为AD的中点,则
=
+
+
⑥椭圆+
=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为5.
其中真命题的序号是:______.
正确答案
对于①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确;
对于②,动点M满足||MF1|-|MF2||=4<6=|F1F2|,符合双曲线的定义,故②正确;
对于③,在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件,正确;
对于④,“若-3<m<5则方程+
=1是椭圆”错误,当m=1时,是圆;
对于⑤,由于D为BC的中点,=
(
+
)=
(
+
),E为AD的中点,
=
(
+
)=
(
+
(
+
))=
+
+
,故⑤正确;
对于⑥,由椭圆的方程与定义可知,2a=10,P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为2a-5=10-5=5,正确.
故真命题的序号是①②③⑤⑥.
如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图1;将线段AB围成一个圆,使两端点A,B恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图3.图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的像就是n,记作f(m)=n.则在下列说法中正确命题的个数为( )
①f()=1;②f(x)为奇函数;③f(x)在其定义域内单调递增;④f(x)的图象关于点(
,0)对称.
正确答案
在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+
=1上,则
=______.
正确答案
利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8
由正弦定理得=
=
=
故答案为
设椭圆C:+y2=1(λ>0)的两焦点是F1,F2,且椭圆上存在点P,使
•
=0
(1)求实数λ的取值范围;
(2)若直线l:x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M,使得|MF1|+|MF2|取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程.
(3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜率为k(k≠0)的直线,与椭圆交于不同的两点A、B,满足=
,且使得过点Q,N(0,-1)两点的直线NQ满足
•
=0?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.
正确答案
解(1)由椭圆定义可得:|PF1|+|PF2|=2由
PF
1•=0可得|PF1|2+|PF2|2=4λ
而|PF1|2+|PF2|2≥∴4λ≥2(λ+1)解得λ≥1(3分).
(2)由x-y+2=0,+y2=1,得(λ+2)x2+4(λ+1)x+3(λ+1)=0
△=16(λ+1)2-12(λ+2)(λ+1)=4(λ+1)(λ-2)≥0•
解得λ≥2或λ≤-1(舍去)∴λ≥2此时|MF1|+|MF2|=2≥2
当仅当λ=2时,|MF1|+|MF2|取得最小值2,此时椭圆方程为
+y2=1(8分)
(3)由=
知点Q是AB的中点.设两点A(x1,y1),B(x2,y2),中点Q(x,y),则
+y12=1
+y22=1两式相减得
+(y1-y2)(y1+y2)=0
∴=-
∴AB中点Q(x,y)的轨迹为直线y=-
x①
且在椭圆内的部分.又由•
=0可知,NQ⊥AB,
所以直线NQ的斜率为-,方程为y=-
x-1②
联立①、②可求得点Q的坐标为(-,
)
∵点Q必在椭圆内,+(
),1,解得k2<1
又∵k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1)(12分)
命题P:动点M到两定点A,B的距离之和PA+PB-2a(a>0)且a为常数;命题Q:M点的轨迹是椭圆.则命题P是命题Q的( )
正确答案
“mn>0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的( )条件.
正确答案
已知点M是平面a内的动点,F1,F2是平面a内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的( )
正确答案
已知定点A(1,0),定直线l:x=5,动点M(x,y)
(1)若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为,试求M的轨迹曲线C1的方程;
(2)若曲线C2是以C1的焦点为顶点,且以C1的顶点为焦点,试求曲线C2的方程;
(3)是否存在过点F(,0)的直线m,使其与曲线C2交得弦|PQ|长度为8呢?若存在,则求出直线m的方程;若不存在,试说明理由.
正确答案
(1)∵定点A(1,0),定直线l:x=5,动点M(x,y),
M到点A的距离与M到直线l的距离之比为,
∴根据椭圆定义:M的轨迹为椭圆,
其中c=1,e==
,
∴a=
∴b==2
∴则C1轨迹方程为:+
=1.
(2)∵C1轨迹方程为:+
=1,
∴C1的焦点为:(1,0),(-1,0),C1的顶点为:(,0),(-
,0)
由题意可知:C2为双曲线
则a′=1,c'=,
则b′==2,
∴C2轨迹方程为:x2-=1.
(3)当直线m的斜率不存在时,m的方程为:x=,
它与C2:x2-=1交于P(
,-4)和Q(
,4),得到得弦|PQ|=8.
当直线m的斜率存在时,m的方程为y=k(x-),
联立方程组 ,消去y,
整理得(4-k2)x2+2k2x-5k2-4=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=
,
∵弦|PQ|长度为8,∴=8,
解得k=±,
∴直线m的方程为x=或y=±
(x-
).
已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)己知点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ=
BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.
正确答案
(1). (2)
的斜率为定值
.
试题分析:(1)设椭圆的方程为
,
由.
,即可得
.
(2) 当时,
、
的斜率之和为0.
设直线的斜率为
, 则
的斜率为
,
的直线方程为
,
的直线方程为
,分别与椭圆方程联立,应用韦达定理,确定坐标关系,通过计算
,
得到结论.
试题解析:(1)设椭圆的方程为
则. 由
,得
,
∴椭圆C的方程为. 5分
(2) 当时,
、
的斜率之和为0,设直线
的斜率为
,
则的斜率为
,
的直线方程为
,
由 整理得
, 9分
,
同理的直线方程为
,
可得
∴ , 12分
,
所以的斜率为定值
. 13分
已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,),曲线E过C点,且动点P在曲线E上运动,并保持|PA|+|PB|的值不变.
(I)求曲线E的方程;
(II)若C、M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线E上的不同三点,直线CM、CN的倾斜角互补.问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.
正确答案
(I)由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4>2=|AB|=2c,(3分)
∴由定义得P点轨迹是椭圆,
且b2=a2-c2=3.
因此,曲线E的方程为+
=1.(5分)
(II)由条件知直线CM,CN的斜率存在且不为0,
设直线CM的方程为y=k(x+1)+,
由消去y,
整理得(4k2+3)x2+4k(2k+3)x+4k2+12k-3=0
∵C在椭圆上,
∴方程两根为-1,x1∴-x1=,x1=-
.(9分)
∵直线PM,PN的倾斜角互补,
∴直线PM,PN的斜率互为相反数,
∴x2=-.(11分)
则x1-x2=,x1+x2=
.
又y1=k(x1+1)+,y2=-k(x2+1)+
,
∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(+2)=
.
∴直线MN的斜率KMN==-
(定值)(13分)
已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:
______.
正确答案
P(-1,0)在⊙Q内,故⊙M与⊙Q内切,记:M(x,y),
⊙M的半径是为r,则:|MQ|=4-r,又⊙M过点P,
∴|MP|=r,
∴|MQ|=4-|MP|,即|MQ|+|MP|=4,
可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2.
∴b==
∴椭圆方程为:+
=1
故答案为:+
=1
已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为
,且椭圆C上一点与两个焦点F1,F2构成的三角形的周长为2
+2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A,B两点,设,若
,求
的取值范围.
正确答案
(1) ; (2)
试题分析:(1)由题设知
椭圆的标准方程为
(2)因为当直线的斜率不存在时,
,不适合题意,所以直线
的斜率存在,设为
,直线
的方程为
,它与椭圆的两交点坐标
,则由
得
通过方程组,借助韦达定理,得到
,结合
得到
与
的关系式,并且可由
得到
的取值范围;
另一方面,因为由前述
的取值范围可使问题得到解决.
试题解析:
解:(1)由题意知: ,且
, 2分
解得 , 3分
椭圆
的方程为
. 4分
(2)由题意得直线 的斜率存在,右焦点
,可设直线
的方程为:
由 得
由题意
设,则
6分
由得
7分
9分
令 ,
在
上单调递增,
可得
故,解得
2分
= 13分
即的取值范围是
14分
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