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题型:填空题
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填空题

给出下列命题:

①若f'(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处有极值;

②m>0是方程+=1表示椭圆的充要条件;

③若f(x)=(x2-8)ex,则f(x)的单调递减区间为(-4,2);

④A(1,1)是椭圆+=1内一定点,F是椭圆的右焦点,则椭圆上存在点P,使得PA+2PF的最小值为3.

其中为真命题的序号是______.

正确答案

若f'(x0)=0,函数f(x)在x=x0处可能取极值,但如果在x0两边单调性一致,则函数f(x)在x=x0处不取极值,故①错误;

m>0且m≠0,是方程+=1表示椭圆的充要条件,故②错误;

若f(x)=(x2-8)ex,则f′(x)=(x2+2x-8)ex,当x∈(-4,2)时,f′(x)<0,∴f(x)的单调递减区间为(-4,2),故③正确;

A(1,1)是椭圆+=1内一定点,F是椭圆的右焦点,则椭圆上存在点P(,1),使得PA+2PF的最小值为3,故④正确;

故答案为:③④

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题型:简答题
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简答题

已知:命题p:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆.命题q:双曲线-=1的离心率e∈(2,3).若p∨q为真,p∧q为假,求实数m的取值范围.

正确答案

若p为真,则,得到0<m<5;            

若q为真,则4<<9,即4a2<a2+b2<9a2,得到3a2<b2<8a2,于是6<3m<16,可得,2<m<.                                           

由由题p∨q为真,p∧q为假,可知p真q假,或p假q真.     

p真q假时,,得到0<m≤2;                 

p假q真时,,得到5≤m<;                 

综上所述,实数m的取值范围为(0,2]∪[5,).

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题型:填空题
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填空题

以下四个命题:

①已知A、B为两个定点,若|PA|+|PB|=k(k为常数),则动点P的轨迹为椭圆.

②双曲线-=1与椭圆+y2=1有相同的焦点.

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.

④过定圆C上一定点A作圆的动弦AB,O为坐标原点,若=(+),则动点P的轨迹为椭圆;

其中真命题的序号为______.

正确答案

①根据椭圆的定义,当K≤|AB|时,动点P的轨迹不是椭圆,∴①错误;

②双曲线与椭圆的焦点坐标都是(±,0),∴②正确;

③方程2x2-5x+2=0的两根可分别2和,∴③正确;

④根据向量加法的平行四边形法则P为AB的中点,在单位圆x2+y2=1,设P(x,y),A(-1,0),B(x1,y1

x1=2x+1,y1=2y代入圆的方程得(2x+1)2+(2y)2=1,轨迹是圆,∴④错误.

故答案是②③

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题型:填空题
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填空题

①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”.

②在平面内,F1、F2是定点,|F1F2|=6,动点M满足||MF1|-|MF2||=4,则点M的轨迹是双曲线.

③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件.

④“若-3<m<5则方程+=1是椭圆”.

⑤在四面体OABC中,===,D为BC的中点,E为AD的中点,则=++

⑥椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为5.

其中真命题的序号是:______.

正确答案

对于①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题是“若x,y互为相反数,则x+y=0”,正确;

对于②,动点M满足||MF1|-|MF2||=4<6=|F1F2|,符合双曲线的定义,故②正确;

对于③,在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三个角成等差数列”的充要条件,正确;

对于④,“若-3<m<5则方程+=1是椭圆”错误,当m=1时,是圆;

对于⑤,由于D为BC的中点,=+)=+),E为AD的中点,=+)=++))=++,故⑤正确;

对于⑥,由椭圆的方程与定义可知,2a=10,P到一个焦点的距离为5,则P到另一个焦点的距离为2a-5=10-5=5,正确.

故真命题的序号是①②③⑤⑥.

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题型:简答题
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简答题

如图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图1;将线段AB围成一个圆,使两端点A,B恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图3.图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的像就是n,记作f(m)=n.则在下列说法中正确命题的个数为(  )

①f()=1;②f(x)为奇函数;③f(x)在其定义域内单调递增;④f(x)的图象关于点(,0)对称.

正确答案

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题型:填空题
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填空题

在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=______.

正确答案

利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8

由正弦定理得===

故答案为

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题型:简答题
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简答题

设椭圆C:+y2=1(λ>0)的两焦点是F1,F2,且椭圆上存在点P,使=0

(1)求实数λ的取值范围;

(2)若直线l:x-y+2=0与椭圆C存在一公共点M,使得|MF1|+|MF2|取得最小值,求此最小值及此时椭圆的方程.

(3)在条件(2)下的椭圆方程,是否存在斜率为k(k≠0)的直线,与椭圆交于不同的两点A、B,满足=,且使得过点Q,N(0,-1)两点的直线NQ满足=0?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

正确答案

解(1)由椭圆定义可得:|PF1|+|PF2|=2

PF

1•=0可得|PF1|2+|PF2|2=4λ

而|PF1|2+|PF2|2∴4λ≥2(λ+1)解得λ≥1(3分).

(2)由x-y+2=0,+y2=1,得(λ+2)x2+4(λ+1)x+3(λ+1)=0

△=16(λ+1)2-12(λ+2)(λ+1)=4(λ+1)(λ-2)≥0•

解得λ≥2或λ≤-1(舍去)∴λ≥2此时|MF1|+|MF2|=2≥2

当仅当λ=2时,|MF1|+|MF2|取得最小值2,此时椭圆方程为+y2=1(8分)

(3)由=知点Q是AB的中点.设两点A(x1,y1),B(x2,y2),中点Q(x,y),则

+y12=1+y22=1两式相减得+(y1-y2)(y1+y2)=0

=-∴AB中点Q(x,y)的轨迹为直线y=-x①

且在椭圆内的部分.又由=0可知,NQ⊥AB,

所以直线NQ的斜率为-,方程为y=-x-1②

联立①、②可求得点Q的坐标为(-)

∵点Q必在椭圆内,+(),1,解得k2<1

又∵k≠0,∴k∈(-1,0)∪(0,1)(12分)

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题型: 单选题
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单选题

命题P:动点M到两定点A,B的距离之和PA+PB-2a(a>0)且a为常数;命题Q:M点的轨迹是椭圆.则命题P是命题Q的(  )

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

B
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题型: 单选题
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单选题

“mn>0”是“mx2+ny2=mn为椭圆”的(  )条件.

A必要不充分

B充分不必要

C充要

D既不充分又不必要

正确答案

A
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题型: 单选题
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单选题

已知点M是平面a内的动点,F1,F2是平面a内的两个定点,则“点M到点F1,F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆”的(  )

A充分必要条件

B充分而不必要条件

C必要而不充分条件

D即不充分也不必要条件

正确答案

C
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题型:简答题
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简答题

已知定点A(1,0),定直线l:x=5,动点M(x,y)

(1)若M到点A的距离与M到直线l的距离之比为,试求M的轨迹曲线C1的方程;

(2)若曲线C2是以C1的焦点为顶点,且以C1的顶点为焦点,试求曲线C2的方程;

(3)是否存在过点F(,0)的直线m,使其与曲线C2交得弦|PQ|长度为8呢?若存在,则求出直线m的方程;若不存在,试说明理由.

正确答案

(1)∵定点A(1,0),定直线l:x=5,动点M(x,y),

M到点A的距离与M到直线l的距离之比为

∴根据椭圆定义:M的轨迹为椭圆,

其中c=1,e==

∴a=

∴b==2

∴则C1轨迹方程为:+=1.

(2)∵C1轨迹方程为:+=1,

∴C1的焦点为:(1,0),(-1,0),C1的顶点为:(,0),(-,0)

由题意可知:C2为双曲线

则a′=1,c'=

则b′==2,

∴C2轨迹方程为:x2-=1.

(3)当直线m的斜率不存在时,m的方程为:x=

它与C2:x2-=1交于P(,-4)和Q(,4),得到得弦|PQ|=8.

当直线m的斜率存在时,m的方程为y=k(x-),

联立方程组  ,消去y,

整理得(4-k2)x2+2k2x-5k2-4=0,

设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=

∵弦|PQ|长度为8,∴=8,

解得k=±

∴直线m的方程为x=或y=±(x-).

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)己知点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,点A、B是椭圆上不同的两个动点,且满足APQ=BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由.

正确答案

(1).  (2) 的斜率为定值.

试题分析:(1)设椭圆的方程为

. ,即可得.

(2) 当时,的斜率之和为0.

设直线的斜率为, 则的斜率为,的直线方程为的直线方程为,分别与椭圆方程联立,应用韦达定理,确定坐标关系,通过计算

 ,

得到结论.

试题解析:(1)设椭圆的方程为

. 由,得

∴椭圆C的方程为.                      5分

(2) 当时,的斜率之和为0,设直线的斜率为

的斜率为,的直线方程为

整理得

,          9分

  ,

同理的直线方程为,

可得 

 ,              12分

 ,

所以的斜率为定值.                     13分

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题型:简答题
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简答题

已知三点A(-1,0),B(1,0),C(-1,),曲线E过C点,且动点P在曲线E上运动,并保持|PA|+|PB|的值不变.

(I)求曲线E的方程;

(II)若C、M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线E上的不同三点,直线CM、CN的倾斜角互补.问直线MN的斜率是否是定值?如果是,求出该定值,如果不是,说明理由.

正确答案

(I)由题意知2a=|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=4>2=|AB|=2c,(3分)

∴由定义得P点轨迹是椭圆,

且b2=a2-c2=3.

因此,曲线E的方程为+=1.(5分)

(II)由条件知直线CM,CN的斜率存在且不为0,

设直线CM的方程为y=k(x+1)+

消去y,

整理得(4k2+3)x2+4k(2k+3)x+4k2+12k-3=0

∵C在椭圆上,

∴方程两根为-1,x1∴-x1=,x1=-.(9分)

∵直线PM,PN的倾斜角互补,

∴直线PM,PN的斜率互为相反数,

∴x2=-.(11分)

则x1-x2=,x1+x2=.

又y1=k(x1+1)+,y2=-k(x2+1)+

∴y1-y2=k(x1+x2+2)=k(+2)=.

∴直线MN的斜率KMN==-(定值)(13分)

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题型:填空题
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填空题

已知⊙Q:(x-1)2+y2=16,动⊙M过定点P(-1,0)且与⊙Q相切,则M点的轨迹方程是:

______.

正确答案

P(-1,0)在⊙Q内,故⊙M与⊙Q内切,记:M(x,y),

⊙M的半径是为r,则:|MQ|=4-r,又⊙M过点P,

∴|MP|=r,

∴|MQ|=4-|MP|,即|MQ|+|MP|=4,

可见M点的轨迹是以P、Q为焦点(c=1)的椭圆,a=2.

∴b==

∴椭圆方程为:+=1

故答案为:+=1

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,且椭圆C上一点与两个焦点F1,F2构成的三角形的周长为2+2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过右焦点F2作直线l 与椭圆C交于A,B两点,设,若,求的取值范围.

正确答案

(1) ; (2)

试题分析:(1)由题设知   椭圆的标准方程为

(2)因为当直线的斜率不存在时, ,不适合题意,所以直线的斜率存在,设为,直线的方程为,它与椭圆的两交点坐标,则由

通过方程组,借助韦达定理,得到,结合得到的关系式,并且可由得到的取值范围;

另一方面,因为由前述的取值范围可使问题得到解决.

试题解析:

解:(1)由题意知: ,且 ,                    2分

解得 ,                            3分

椭圆的方程为 .                            4分

(2)由题意得直线 的斜率存在,右焦点 ,可设直线 的方程为: 

 得 

由题意 

,则                 6分

                               7分

 

 

                                   9分

 , 在上单调递增,

可得 

 

,解得                           2分

 

=                   13分

 

的取值范围是                         14分

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