热门试卷

（1）；（2）直线过定点.

本试题主要是考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆位置关系的运用。利用椭圆的几何性质，来表示得到a,b,c的值，从而解得方程，然后设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理，运用代数的方法来表示坐标，同时借助于题目中向量的关系式，得到坐标的关系，消去坐标，得参数的关系式，进而求解得到。

解一：（1）由题知：…………2分

化简得：……………………………4分

（2）设，:，

代入整理得…………6分

，，………………………………8分

的方程为

令，

得………10分

直线过定点.………………12分

解二：设，:，

代入整理得…………6分

,，…………8分

的方程为

令，

得……10分

直线过定点.…………12分

解三：由对称性可知，若过定点，则定点一定在轴上，

设，:，

代入整理得…………6分

,，…………8分

设过定点，则，而

则

…………10分

直线过定点.…………12分

(1)+=1

(2) -4＜x0＜

(3)当x0=-时，DE的最大值为

本试题主要是考查了椭圆方程的求解以及结合圆的知识，求解圆与坐标轴的交点问题，以及直线与圆的位置关系的运用。

解：(1)∵椭圆+=1(a＞b＞0)的离心率为，且经过点P(1，)，

∴椭圆C的方程为+=1。………       5分

(2)易求得F(1，0)。设M(x0，y0)，则+=1，      

圆M的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=(1-x0)2+y02，

令x=0，化简得y2-2y0y+2x0-1=0，⊿=4y02-4(2x0-1)2＞0……①。

将y02=3(1-)代入①，得3x02+8x0-16＜0，解出 -4＜x0＜..........10分

(3)设D(0，y1)，E(0，y2)，其中y1＜y2。由(2)，得

DE= y2- y1===，

当x0=-时，DE的最大值为

（I）解由题设 ，即

整理得， （2分）

当 当<0时，x=0,与题设不符舍去

故所求曲线C的方程为 （4分）

（1）  当k=0时，D与F重合

由 得

所以，此时M点的坐标为或（8分）

（2）  当时，由得

消去整理，得

解之，得或，由得，所以，此时（12分）

故所求M点的坐标为或此时直线的方程为或此时直线的方程为（13分）

略

(Ⅰ) ;(Ⅱ)

试题分析：（1）设C：（A＞b＞0），由条件知A-C=,由此能导出C的方程．(Ⅱ)由题意可知λ=3或O点与P点重合．当O点与P点重合时，m=0．当λ=3时，直线l与y轴相交，设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2），得再由根的判别式和韦达定理进行求解．

试题解析：（1）设C：（A＞b＞0），设C＞0，，由条件知A-C=，，∴A=1，b=C=,故C的方程为：;

(Ⅱ)设与椭圆C的交点为A(，)，B(，)。将y=kx+m代入

得,所以①,

.因为,所以,

消去得,所以,

即,当时,

所以,由①得,解得

（1）

（2））

（3）故的面积存在最大值.

试题分析：解(1)由题设知，圆的圆心坐标是，半径为，

故圆与轴交与两点，. 1分

所以，在椭圆中或，又，

所以，或 (舍去，∵), …于是，椭圆的方程为. 4分

(2)设，；直线与椭圆方程联立,

化简并整理得.

∴，,

∴，

.    6分

∵，∴,即得 

∴，，即为定值.     8分

(3)∵，,    

∴直线的方程为

令，则

,

∴解法一：

    13分

当且仅当即时等号成立. 故的面积存在最大值.…

(或: ,

令，    

则

当且仅当时等号成立，此时故的面积存在最大值.…

点评：主要是考查了椭圆方程的求解，以及直线与椭圆位置关系的运用，属于中档题。

（1）

（2）时，有最小值.

试题分析：解：（Ⅰ）设方程为，抛物线的焦点为，

则.

双曲线的离心率  所以，得

∴椭圆C的方程为.                 4分

（Ⅱ）设直线的方程为，由对称性不妨设

由消得：    6分

依题意，得： 8分

由，令，得，即

 10分（用表示一样给分）

当且仅当即时取等号.                      12分

因为故时，有最小值.           13分

点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。

(I) 见解析；

(II) 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值.

本题主要考查抛物线的基本性质以及直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线综合问题时，常把直线方程与圆锥曲线方程联立．

（1）先讨论出当直线l垂直于x轴时，的值；再设出直线方程，把直线与抛物线方程联立，得到A，B两点的坐标和斜率之间的关系，再代入 

计算即可得到结论

（2）先写出类似结论，再根据第一问求 

的方法即可得到结论．（注意要分直线斜率存在和不存在两种情况讨论）．

解: (I) 若直线l垂直于x轴, 则, .

……………2分

若直线l不垂直于x轴, 设其方程为, .

由

……………4分

.

综上, 为定值. ……………6分

(II) 关于椭圆有类似的结论: 过椭圆的一个焦点的动直线l交椭圆于、两点, 存在定点, 使为定值. ……………7分

证明: 不妨设直线l过椭圆的右焦点其中

若直线l不垂直于x轴, 则设其方程为: , .

由得:

……………9分

由对称性可知, 设点在x轴上, 其坐标为

所以

要使为定值,

只要

即

此时……………12分

若直线l垂直于x轴, 则其方程为, , .

取点,

有……………13分

综上, 过焦点的任意直线l交椭圆于、两点, 存在定点

使为定值.                ……………14分

见解析.

第一问中利用根据已知的的定义进行判定特征三角形是否相似即可

第二问中，设直线方程，借助于联立方程组，和韦达定理可以表示斜率之积，然后可知为定植

第三问中，利用类比推理的思想可知两个相似椭圆之间的性质有：           

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比

解：（1）由题意可知，椭圆的焦点和上顶点分别为、，我们称为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比，所以椭圆与相似. ………2分

因为的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，

而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，

因此两个等腰三角形相似，且相似比为2:1                         ……… 4分

（2）椭圆的方程为：.

=与b无关                                 -----------6分

（3）椭圆的方程为：.        

两个相似椭圆之间的性质有：           

两个相似椭圆的面积之比为相似比的平方；

分别以两个相似椭圆的顶点为顶点的四边形也相似，相似比即为椭圆的相似比；

两个相似椭圆被同一条直线所截得的线段中点重合；

过原点的直线截相似椭圆所得线段长度之比恰为椭圆的相似比. ---------------6分

解：（1）

故椭圆的方程为   ……………………… 4分

（2）

①当直线的斜率不存在时, 由于不妨设,

又

此时,                  ……………………… 6分

②当直线的斜率存在时, 设的方程为,

得到              ……………………… 8分

代入:

即故

……………………… 13分

所以三角形的面积为定值.                              ……………………… 14分

略

解（1）又由点M在准线上，得          ………2分

故，   从而                          

所以椭圆方程为                                 ……………4分

（2）以OM为直径的圆的方程为

即                                

其圆心为,半径                                ……………6分

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离            ……………8分

所以，解得

所求圆的方程为                          ……………10分

（3）方法一：设过点F作直线OM的垂线, 垂足为K,由平几知：

直线OM：，直线FN：          ……12分

由得

所以线段ON的长为定值。

所以线段ON的长为定值…………14分

略

解：由，得F1（2，0），F2（-2，0）   （3分）

F1关于直线l的对称点F1/（6，4）    （4分）

，连F1/F2交l于一点，即为所求的点M，∴2a=|MF1|+|MF2|=|F1/F2|=4，a=2（4分）

∴，又c=2，∴b2=16，             （4分）

故所求椭圆方程为．    （3分）

略

解：（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），

由得：．………………1分

△=，即．………………2分

x1+x2=，

      y1+y2＝-( x1+x2)+2=，

∴点M的坐标为（，）．…………………………………4分

又点M在直线l上，∴-=0，

∴，∴，∴．……………… 6分

（2）由（1）知，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线l：

的对称点为（x0，y0），

由，解得……………………………………8分

∵，∴，

∴，显然有．……………………………………10分

∴所求的椭圆的方程为．…………………………………12分

略

解：(1)解法一：设椭圆的标准方程为，

由椭圆的定义知:

得   

故的方程为.                                    ...............4分          

解法二：设椭圆的标准方程为，

依题意，①， 将点坐标代入得②

由①②解得，故的方程为.          ...............4分

（2）因为点在椭圆上运动，所以，则，

从而圆心到直线的距离，

所以直线与圆相交.                                      ............... 8 分

直线被圆所截的弦长为

...............10 分

.                                          ...............14 分

略