- 圆锥曲线与方程
- 共14739题
若椭圆的离心率为
,则它的长半轴长为_______________
正确答案
_1或2_
略
求过点且与椭圆
有相同焦点
的椭圆标准方程解。
正确答案
解:设所求椭圆的标准为
则
因为所求椭圆过点
①
又 ②
由①②解得
所求椭圆的标准方程为
已知椭圆,试确定m的取值范围,使得椭圆上总有不同的两点关于直线y=4x+m对称。
正确答案
略
略
(14分)设F1、F2分别为椭圆C: =1(a>b>0)的左、右两个焦点.
(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1、F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;
(3)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.
正确答案
(1)椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)为所求的轨迹方程.
(3)kPM·kPN=.证明略
解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A(1,)在椭圆上,因此
=1得b2=3,于是c2=1.
所以椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).
(2)设椭圆C上的动点为K(x1,y1),线段F1K的中点Q(x,y)满足:
, 即x1=2x+1,y1=2y.
因此=1.即
为所求的轨迹方程.
(3)类似的性质为:若M、N是双曲线:=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM、kPN时,那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.
设点M的坐标为(m,n),则点N的坐标为(-m,-n),其中=1.
又设点P的坐标为(x,y),由,
得kPM·kPN=,将
m2-b2代入得kPM·kPN=
.
.“神舟”五号飞船运行轨道是以地球的中心F为焦点的椭圆,测得近地点A距地面为m km,远地点B距地面为n km,设地球半径为R km,关于椭圆有以下说法:
①焦距长为n-m;
②短轴长为;
③离心率为e=;
④以AB方向为x轴的正方向,F为坐标原点,则左准线方程为x=-.
以上说法正确的有__________________(填上所有你认为正确说法的序号).
正确答案
①③④
以AB方向为x轴的正方向,AB中点为坐标原点时,m+n+2R=2a,
∴a=+R,
a+c=n,a-c=m.
∴c=.
∴b=,e=
=
.
左准线为x=-=-
.
以AB方向为x轴的正方向,F为坐标原点时,左准线为x=-+c=-
.
已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.
正确答案
椭圆的方程为+
=1.
当焦点在x轴上时,设其方程为=1(a>b>0).
由椭圆过点P(3,0),知=1.
又a=3b,代入得b2=1,a2=9,
故椭圆的方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,设其方程为=1(a>b>0).
由椭圆过点P(3,0),知=1.
又a=3b,联立解得a2=81,b2=9.
故椭圆的方程为+
=1.
点M到一个定点F(0,2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2,则M点的轨迹方程是?
正确答案
+
=1
根据椭圆第二定义可知,椭圆焦点为(0,2),y==8,e=
.
由c=2,=8,得a=4,满足e=
=
=
.
∴椭圆方程为+
=1.
已知椭圆的两个焦点为
、
,且
,弦AB过点
,则△
的周长为__________
正确答案
20
略
椭圆的焦点是(-3,0
)
(3,0),P为椭圆上一点,且
的等差中项,则椭圆的方程为___________________________.
正确答案
略
本题满分10分.
已知椭圆,椭圆上动点P的坐标为
,且
为钝角,求
的取值范围。
正确答案
本题满分10分.
解 椭圆的焦点是
, …………………2分
于是,,
.
又是钝角,
故,即
. …………………7分
由点P在椭圆上,解得.
所以,,解得
.(又
) ……9分
因此点P的横坐标的取值范围是. …………10分
已知,
是椭圆
左右焦点,它的离心率
,且被直线
所截得的线段的中点的横坐标为
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)设是其椭圆上的任意一点,当
为钝角时,求
的取值范围。
正确答案
(Ⅰ)椭圆方程为 (Ⅱ)
解:因为第一问中,利用椭圆的性质由得
所以椭圆方程可设为:
,然后利用
得得
椭圆方程为
第二问中,当为钝角时,
, 得
所以 得
解:(Ⅰ)由得
所以椭圆方程可设为:
3分
得得
椭圆方程为
3分
(Ⅱ)当为钝角时,
, 得
3分
所以 得
椭圆中心在原点,且经过定点,其一个焦点与抛物线
的焦点重合,则该椭圆的方程为
正确答案
抛物线的焦点坐标为
,依题意可得椭圆焦点坐标为
。设椭圆方程为
,因为椭圆经过定点
,所以
,解得
,所以
,则椭圆方程为
已知焦点在x轴的椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点
在直线
(
为长半轴,
为半焦距)上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值
正确答案
(1)又由点M在准线上,得
故,
从而
所以椭圆方程为
(2)以OM为直径的圆的方程为
即
其圆心为,半径
因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2
所以圆心到直线的距离
所以,解得
所求圆的方程为
(3)方法一:由平几知:
直线OM:,直线FN:
由得
所以线段ON的长为定值。
方法二、设
,则
又
所以,为定值
略
已知椭圆与双曲线
有相同的焦点
、
,点
是
与
的一个公共点,
是一个以
为底的等腰三角形,
,
的离心率为
,则
的离心率为 .
正确答案
3
设椭圆的长轴长为
,双曲线
的实轴长为
,相同的焦点
、
,其中
,
.
∵是一个以
为底的等腰三角形,
∴,
又∵点是
与
的一个公共点,
,
的离心率为
,
,解得
,则
的离心率为
.
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为 __
正确答案
略
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