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题型:填空题
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填空题

若椭圆的离心率为,则它的长半轴长为_______________ 

正确答案

_12_

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题型:简答题
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简答题

求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆标准方程解。

正确答案

解:设所求椭圆的标准为 

则 

  因为所求椭圆过点

        ①

      ②

 由①②解得

所求椭圆的标准方程为

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆,试确定m的取值范围,使得椭圆上总有不同的两点关于直线y=4x+m对称。

正确答案

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题型:简答题
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简答题

(14分)设F1F2分别为椭圆C =1(ab>0)的左、右两个焦点.

(1)若椭圆C上的点A(1,)到F1F2两点的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标;

(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1K的中点的轨迹方程;

(3)已知椭圆具有性质:若MN是椭圆C上关于原点对称的两个点,点P是椭圆上任意一点,当直线PMPN的斜率都存在,并记为kPMkPN时,那么kPMkPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明.

正确答案

(1)椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).

(2)为所求的轨迹方程.

(3)kPM·kPN=.证明略

解:(1)椭圆C的焦点在x轴上,由椭圆上的点AF1F2两点的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A(1,)在椭圆上,因此=1得b2=3,于是c2=1.

所以椭圆C的方程为=1,焦点F1(-1,0),F2(1,0).

(2)设椭圆C上的动点为Kx1y1),线段F1K的中点Qxy)满足:

, 即x1=2x+1,y1=2y.

因此=1.即为所求的轨迹方程.

(3)类似的性质为:若MN是双曲线:=1上关于原点对称的两个点,点P是双曲线上任意一点,当直线PMPN的斜率都存在,并记为kPMkPN时,那么kPMkPN之积是与点P位置无关的定值.

设点M的坐标为(mn),则点N的坐标为(-m,-n),其中=1.

又设点P的坐标为(xy),由

kPM·kPN=,将m2b2代入得kPM·kPN=.

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题型:填空题
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填空题

.“神舟”五号飞船运行轨道是以地球的中心F为焦点的椭圆,测得近地点A距地面为m km,远地点B距地面为n km,设地球半径为R km,关于椭圆有以下说法:

①焦距长为n-m;

②短轴长为;

③离心率为e=;

④以AB方向为x轴的正方向,F为坐标原点,则左准线方程为x=-.

以上说法正确的有__________________(填上所有你认为正确说法的序号).

正确答案

①③④

以AB方向为x轴的正方向,AB中点为坐标原点时,m+n+2R=2a,

∴a=+R,

a+c=n,a-c=m.

∴c=.

∴b=,e==.

左准线为x=-=-.

以AB方向为x轴的正方向,F为坐标原点时,左准线为x=-+c=-.

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题型:简答题
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简答题

已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),a=3b,求椭圆的标准方程.

正确答案

椭圆的方程为+=1.

当焦点在x轴上时,设其方程为=1(a>b>0).

由椭圆过点P(3,0),知=1.

又a=3b,代入得b2=1,a2=9,

故椭圆的方程为+y2=1.

当焦点在y轴上时,设其方程为=1(a>b>0).

由椭圆过点P(3,0),知=1.

又a=3b,联立解得a2=81,b2=9.

故椭圆的方程为+=1.

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题型:简答题
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简答题

M到一个定点F(0,2)的距离和它到一条定直线y=8的距离之比是1∶2,则M点的轨迹方程是?

正确答案

+=1

根据椭圆第二定义可知,椭圆焦点为(0,2),y==8,e=.

c=2,=8,得a=4,满足e===.

∴椭圆方程为+=1.

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题型:填空题
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填空题

已知椭圆的两个焦点为,且,弦AB过点,则△的周长为__________ 

正确答案

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填空题

椭圆的焦点是(-3,0(3,0),P为椭圆上一点,且的等差中项,则椭圆的方程为___________________________.

正确答案

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题型:简答题
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简答题

本题满分10分.

已知椭圆,椭圆上动点P的坐标为,且为钝角,求的取值范围。

正确答案

本题满分10分.

解 椭圆的焦点是,   …………………2分

于是,

是钝角,

,即.   …………………7分

由点P在椭圆上,解得

  所以,,解得.(又) ……9分

  因此点P的横坐标的取值范围是.           …………10分

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题型:简答题
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简答题

已知,是椭圆左右焦点,它的离心率,且被直线所截得的线段的中点的横坐标为

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设是其椭圆上的任意一点,当为钝角时,求的取值范围。

正确答案

(Ⅰ)椭圆方程为   (Ⅱ)

解:因为第一问中,利用椭圆的性质由  所以椭圆方程可设为:,然后利用

    

     椭圆方程为

第二问中,当为钝角时,,   得

所以   得

解:(Ⅰ)由  所以椭圆方程可设为:

                                       3分

    

     椭圆方程为             3分

(Ⅱ)当为钝角时,,   得   3分

所以   得

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题型:填空题
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填空题

椭圆中心在原点,且经过定点,其一个焦点与抛物线的焦点重合,则该椭圆的方程为          

正确答案

抛物线的焦点坐标为,依题意可得椭圆焦点坐标为。设椭圆方程为,因为椭圆经过定点,所以,解得,所以,则椭圆方程为

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题型:简答题
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简答题

已知焦点在x轴的椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点  在直线为长半轴,为半焦距)上.

(1)求椭圆的标准方程;

(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;

(3)设F是椭圆的右焦点,过点FOM的垂线与以OM为直径的圆交于点N,求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值

正确答案

(1)又由点M在准线上,得         

   从而                          

所以椭圆方程为                           

(2)以OM为直径的圆的方程为

                                

其圆心为,半径                              

因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2

所以圆心到直线的距离            

所以,解得

所求圆的方程为                        

(3)方法一:由平几知:

直线OM:,直线FN:               

所以线段ON的长为定值。                       

方法二、设,则 

             

所以,为定值

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题型:填空题
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填空题

已知椭圆与双曲线有相同的焦点,点的一个公共点,是一个以为底的等腰三角形,,的离心率为,则的离心率为  .

正确答案

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设椭圆的长轴长为,双曲线的实轴长为,相同的焦点,其中.

是一个以为底的等腰三角形,

又∵点的一个公共点,的离心率为,解得,则的离心率为.

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题型:填空题
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填空题

已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为       __

正确答案

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