圆锥曲线与方程_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点。

（1）求实数的取值范围；

（2）设椭圆与轴正半轴，轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量共线？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）不存在符合题意的常数

（1）由已知条件，知直线的方程为，代入椭圆方程，

得①……………………2分

由直线与椭圆有两个不同的交点，得解得即的取值范围为。…………………5分

（2）设则

由方程①，知，②

又，③

由得.

∴共线等价于将②③代入，解得 ……………………9分

由①知故不存在符合题意的常数.……………………12分

1

题型：填空题

|

填空题

P为椭圆+=1上的一点,F1和F2是其焦点,若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为__________________.

正确答案

利用椭圆定义和三角形的面积公式.

∵|PF1|+|PF2|=2a=20,|F1F2|=2c=2=12,

由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.

故有122=202-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos60°.

∴3|PF1||PF2|=400-144=256.

∴|PF1||PF2|=.

∴=|PF1||PF2|sin60°=××=.

1

题型：填空题

|

填空题

如图，设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则值为．

正确答案

试题分析：根据题意，由于设椭圆的左右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，则内切圆的半径为1，设两点的坐标分别为，则利用内切圆的性质可知，值为

点评：主要是考查了直线与椭圆的位置关系的运用，属于中档题。

1

题型：简答题

|

简答题

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段中点的轨迹方程；

正确答案

（1）（2）

试题分析：解：（1）由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=,则半短轴b=1，

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为。

（2）设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，

由得

由点P在椭圆上,得，

∴线段PA中点M的轨迹方程是。

点评：主要是考查了椭圆方程以及轨迹方程的求解，属于基础题。

1

题型：填空题

|

填空题

椭圆的两焦点是,则其焦距长为，若点是椭圆上一点，且是直角三角形，则的大小是 .

正确答案

，

试题分析：易知，所以焦距长为。

因为b>c，所以要满足是直角三角形，应该是∠ 是直角，不妨设点P在第一象限，则点P的坐标为，所以。

点评：椭圆，点是椭圆上一点，若b>c,满足是直角三角形的点P有四4；若b=c，满足是直角三角形的点P有6个；若b 是直角三角形的点P有8个。

1

题型：填空题

|

填空题

已知椭圆的一个顶点和一个焦点分别是直线x+3y-6=0与两坐标轴的交点,则椭圆的标准方程为

正确答案

+=1或+=1

直线x+3y-6=0与两坐标轴的交点是：(6,0)、（0,2）

若焦点是（6,0）。顶点是（0,2）。则c=6,b=2,所以a=;则椭圆的标准方程为

;若焦点是（0,2）、顶点是（6,0），则c=2,b=6,所以，则椭圆的标准方程为

1

题型：填空题

|

填空题

一个圆柱形容器里装有水，放在水平地面上，现将该容器倾斜，这时水面是一个椭圆面（如图），当圆柱的母线与地面所成角时，椭圆的离心率是

正确答案

首先，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个三角直角形，且长轴与直径的夹角为。，。离心率。答案：

1

题型：简答题

|

简答题

椭圆上一点P(2,1)到两焦点F1、F2的距离之和是焦距的两倍,求椭圆的标准方程.

正确答案

椭圆方程为+=1或+=1.

若椭圆焦点在x轴上,方程为+=1(a>b>0),由题意得

解得a2=,b2=4.

此时椭圆方程为+=1.

若焦点在y轴上,设方程为+=1(a>b>0).

由题意,得

解之,得a2=,b2=.

此时椭圆方程为+=1.

综上,知所求椭圆方程为+=1或+=1.

1

题型：填空题

|

填空题

方程＝1表示椭圆，则k的取值范围是________.

正确答案

k＞3

方程＝1表示椭圆，则

1

题型：简答题

|

简答题

（本小题满分12分）

已知椭圆的一个焦点为F1(-1,0)，对应的准线方程为，且离心率e满足：成等差数列。

（1）求椭圆C方程；

（2）如图，抛物线的一段与椭圆C的一段围成封闭图形，点N（1，0）在x轴上，又A、B两点分别在抛物线及椭圆上，且AB//x轴，求△NAB的周长的取值范围。

正确答案

解：（1）………………4分

（2）易知N为抛物线y2=4x的焦点，又为椭圆的右焦点，

抛物线的准线：x=-1，椭圆的右准线l2：x=4，

过A作AC^于C，过B作BD^于D，

则C、A、B、D在同一条与x轴平行的直线上。

由，得抛物线与椭圆的交点M的横坐标

而|BN|=e|BD|=|BD|,|AN|=|AC|

∴△NAB的周长l=|AN|+|AB|+|NB|=|BC|+|BN|

=|BC|+|BD|=|BC|+|BD|-|BD|

=|CD|-|BD|=5-|BD|

，即

，即l的取值范围为（，4）………………12分

略

1

题型：简答题

|

简答题

（本题满分14分）已知直线与椭圆相交于、两点，是线段上的一点，，且点M在直线上

（1）求椭圆的离心率；

（2）若椭圆的焦点关于直线的对称点在单位圆上，求椭圆的方程。

正确答案

（1）

（2）

解：

（1）由知是的中点，设、两点的坐标分别为

由得：

点的坐标

又点的直线上：

（2）由（1）知，不妨设椭圆的一个焦点坐标为，

设关于直线的对称点为，

则有解得：由已知，

，，所求的椭圆的方程为

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为，．过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且，垂足为．

（Ⅰ）设点的坐标为，证明：；

（Ⅱ）求四边形的面积的最小值．

正确答案

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）四边形的面积的最小值为；

（Ⅰ）椭圆的半焦距，

由知点在以线段为直径的圆上，故，

所以，．

（Ⅱ）（ⅰ）当的斜率存在且时，的方程为，代入椭圆方程，并化简得．

设，，则

，

；

因为与相交于点，且的斜率为，

所以，．

四边形的面积

．

当时，上式取等号．

（ⅱ）当的斜率或斜率不存在时，四边形的面积．

综上，四边形的面积的最小值为．

1

题型：填空题

|

填空题

α∈(0，)，方程x2sinα+y2cosα=1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是______.

正确答案

＜α＜

>>0,即sinα＞cosα,又α∈(0,),∴α∈(,).

1

题型：填空题

|

填空题

设F1、F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且|PF1|-|PF2|=1,则cos∠F1PF2=___________.

正确答案

由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4,又|PF1|-|PF2|=1,

联立解得|PF1|=,|PF2|=.

又F1F2=2c=2=2,

在△PF1F2中,由余弦定理得

cos∠F1PF2=.

1

题型：简答题

|

简答题

直角坐标系中，O为坐标原点，设直线经过点，且与轴交于

点F（2，0）。

（I）求直线的方程；

（II）如果一个椭圆经过点P，且以点F为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。

正确答案

（1）直线的方程是；（2）椭圆的标准方程为

（I）由于直线经过点和F（2，0），

则根据两点式得，所求直线的方程为

即

从而直线的方程是

（II）设所求椭圆的标准方程为

由于一个焦点为F（2，0），则①

又点在椭圆上，

则②

由①②解得

所以所求椭圆的标准方程为

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案