圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（12分）椭圆C：的两个焦点分别为 ,是椭圆上一点，且满足。

（1）求离心率e的取值范围；

（2）当离心率e取得最小值时，点N( 0 , 3 )到椭圆上的点的最远距离为。

(i)求此时椭圆C的方程；

(ii)设斜率为的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，问A、B两点能否关于过点P（0，）、Q的直线对称？若能，求出的取值范围；若不能，请说明理由。

正确答案

略

解：(1)、由几何性质知的取值范围为：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 当离心率e取最小值时，椭圆方程可表示为+ =" 1" 。设H( x , y )是椭圆上的一点，则| NH |2 =x2+(y-3)2 =" -" (y+3)2+2b2+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，则当y =" -" b时，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，则当y = -3时，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16

∴所求椭圆方程为+ = 1………………7分

(ii) 设 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，则由两式相减得x0+2ky0=0；……8分

又直线PQ⊥直线l，∴直线PQ的方程为y=" -" x - ，将点Q( x0 , y0 )坐标代入得y0=" -" x0- ………②　　……9分

由①②解得Q( - k , )，而点Q必在椭圆的内部

∴ + < 1，…… 10分，由此得k2 < ，又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k <

故当( - , 0 ) ∪( 0 , )时，A、B两点关于过点P、Q、的直线对称。…………12分

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题型：简答题

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简答题

某公园内有一椭圆形景观水池，经测量知，椭圆长轴长为20米，短轴长为16米，现以椭圆长轴所在直线为轴，短轴所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：

（1）为增加景观效果，拟在水池内选定两点安装水雾喷射口，要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等，请指出水雾喷射口的位置（用坐标表示），并求椭圆的方程。

（2）为了增加水池的观赏性，拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置，请确定点M的位置，使此三角形区域面积最大。

正确答案

（1）椭圆的方程为 4分

（2）当选择在点（，）安装景观灯时，三角形区域面积最大

本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（I）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，则2a=20，2b=16，由椭圆定义知水雾喷射口的位置，并可得椭圆的方程；

（Ⅱ）记点M到直线AB的距离为d，过点M与AB平行的直线为l，则S△ABM= 要使△ABM的面积最大，则只需d最大，即l与AB这两平行线间的距离最大，设出方程代入椭圆方程即可求解．

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题型：填空题

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填空题

椭圆＋=1的离心率 e =, 则k的值是

正确答案

、 4或－；

解：因为椭圆＋=1的离心率 e =,由于焦点位置不定，因此要分类讨论得到k的值由两个，且为4或－

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题型：简答题

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简答题

已知平面直角坐标系中点F（1，0）和直线,动圆M过点F且与直线相切。

（1）求M的轨迹L的方程；

（2）过点F作斜率为1的直线交曲线L于A、B两点，求｜AB｜的值。

正确答案

解：（1）设动圆M的圆心，则， 2分

化简得 4分

（法二）由条件，动圆M的圆心的轨迹是以F为焦点，直线为准线的抛物线 2分

为所求 4分

（2）由条件，代入得， 6分

（一）解得或 10分

11分

｜AB｜的值为8 12分

（二）设，，则 8分

由抛物线定义， 10分

11分

｜AB｜的值为8 12分

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分12分）已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过

(Ⅰ)求椭圆C的方程，

(Ⅱ)直线交椭圆C与A、B两点，求证：

正确答案

解：设椭圆C 的方程为

由椭圆C过点得：

解得

椭圆C的方程为

（Ⅱ）设，由

消去y整理得，由韦达定理得，则

由两边平方整理可得

只需证明

而

故恒成立

略

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题型：填空题

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填空题

平行四边形为圆的外切四边形，同时又为椭圆的内接四边形，则=_______________;

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

求经过点P（1，1），以y轴为准线，离心率为的椭圆的中心的轨迹方程

正确答案

椭圆的中心的轨迹方程是：

因为椭圆经过点P（1，1），又以y轴为准线，所以椭圆在y轴的右边．

设椭圆中心Q．

而中心Q到准线的距离为．

由椭圆的第二定义得

即椭圆的中心的轨迹方程是：

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题型：填空题

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填空题

是椭圆的左焦点，是椭圆上一点，轴，，求椭圆的离心率。

正确答案

设椭圆的方程为：，∵轴，∴，，∴，，又，∴，∴，∴。

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

正确答案

：（Ⅰ）由题意知e==，所以e2===．即a2=b2．

又因为b==，所以a2=4，b2=3．故椭圆的方程为=1.…4分

（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)，和椭圆方程联立解决．

由,得（4k2+3）x2-32k2x+64k2-12=0． ①…6分

设点B(x1,y1)，E(x2,y2)，则A(x1,-y1)．直线AE的方程为y-y2=(x-x2)．令y=0，得x=x2-．将y1=k(x1-4)，y2=k(x2-4)代入，

整理，得x=． ②…8分

由①得x1+x2=，x1x2=…10分代入②整理，得x=1．

所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)

（1）离心率为得=，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，b==，解得a2=4，b2=3；（Ⅱ）直线PB的方程为y=k(x-4)

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左右焦点为，过点且斜率为正数的直线交椭圆于两点，且成等差数列。

（1）求椭圆的离心率；

（2）若直线与椭圆交于两点，求使四边形的面积最大时的值。

正确答案

解：（1）根据椭圆定义及已知条件，有

由上可解得

所以点为短轴端点，的离心率。

（2）由（1）可知，不妨设，则的坐标满足，由此得

设两点到直线的距离分别为，因为两点在直线的异侧，则

设，则，

当即时，最大，进而有最大值。（12分）

略

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题型：填空题

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填空题

椭圆的离心率为，则的值为 ____________

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

过椭圆的左焦点任作一条与两坐标轴都不垂直的弦，若点在轴上，且使得为的一条内角平分线，则称点为该椭圆的“左特征点”．

(1)求椭圆的“左特征点”的坐标；

(2)试根据(1)中的结论猜测:椭圆的“左特征点”是一个怎样的点?

并证明你的结论．

正确答案

(1) (2)证明略

(1)；(2)为椭圆的“左特征点”，证明略．

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题型：简答题

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简答题

设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，若，证明：的面积只与椭圆的短轴长有关

正确答案

证明略

由得，，，命题得证

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题型：简答题

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简答题

如图，在直角梯形中，，，，，

，椭圆以、为焦点且经过点．

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；

（Ⅱ）以该椭圆的长轴为直径作圆，判断点C与该圆的位置关系。

正确答案

（Ⅰ）（Ⅱ）点C在圆内

（Ⅰ）以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立直角坐标系…1分

则，，，…3分

设椭圆方程为……4分

则解得………8分

∴所求椭圆方程为 ……9分

（2）点C在圆内 ………12分

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题型：简答题

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简答题

设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，求椭圆的离心率

正确答案

∵，

∴.

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