圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本不题满分14分）

已知在平面直角坐标系中，向量，△OFP的面积为，且。

（1）设,求向量的夹角的取值范围；

（2）设以原点O为中心，对称轴在坐标轴上，以F为右焦点的椭圆经过点M，且

取最小值时，求椭圆的方程。

正确答案

解：（1）由

因为

（2）设

略

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分12分)

已知 F1、F2是椭圆的两焦点，是椭圆在第一象限弧上一点，且满足=1.过点P作倾斜角互补的两条直线PA、PB分别交椭圆于A、B两点.

（1）求P点坐标;

（2）求证直线AB的斜率为定值;

（3）求△PAB面积的最大值.

正确答案

（1）由题可得F1(0, ), F2(0, －), 设P(x0, y0)(x0>0, y0>0)

则

………………2分在曲线上，

则

则点P的坐标为（1，） ………………4分

（2）由题意知，两直线PA、PB的斜率必存在，设PB的斜率为k(k>0)

则BP的直线方程为：y－=k(x－1)

………………6分

AB的斜率为定值 ………………8分

（3）设AB的直线方程：

……………9分

……………10分

当且仅当m=±2∈（－2，2）取等号

∴三角形PAB面积的最大值为 ………………12分

略

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题型：填空题

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填空题

2008年9月25日下午4点30分,“神舟七号”载人飞船发射升空,其运行的轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，若这个椭圆的长轴长为2a,离心率为e，则“神舟七号”飞船到地球中心的最大距离为________ _

正确答案

此题考查椭圆的知识点

易知椭圆上的点到F的最大距离为，

答案

点评：对于椭圆的图形要有充分的认识

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题型：填空题

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填空题

椭圆的左、右焦点分别为、，直线过与椭圆相交于、两点，为坐标原点，以为直径的圆恰好过，求直线的方程.

正确答案

解：（1）

∴所求直线方程为

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）已知椭圆经过点，为坐标原点，平行于的直线在轴上的截距为.

（1）当时，判断直线与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）；

（2）当时，为椭圆上的动点，求点到直线距离的最小值；

（3）如图，当交椭圆于、两个不同点时，求证：直线、与轴始终围成一个等腰三角形.

正确答案

解：（1）当时，直线与椭圆相离. ……2分

（2）可知直线的斜率为

设直线与直线平行，且直线与椭圆相切，

设直线的方程为 --------------------------------- 3分

联立，得 --------------------------------- 4分

，解得 --------------------------------- 5分

直线的方程为.

所求点到直线的最小距离等于直线到直线的距离

. ------------------------------ 7分

（3）由

若点与关于x轴对称，则，

此时直线：.

由上题知，直线与椭圆相切，不合题意.

故设直线、的斜率分别为，，

只需证明+即可.

设，

， -----------------------------9分

而 ----------- 10分

----------- 12分

∴+

直线、与轴始终围成一个等腰三角形 ---------------------------------------14分

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知双曲线的方程为，点和点（其中和均为正数）是双曲线的两条渐近线上的的两个动点，双曲线上的点满足（其中）．

（1）用的解析式表示；

（2）求△（为坐标原点）面积的取值范围．

正确答案

（1）由已知，，（，），设

由，得，故点的坐标为，…（3分）

将点的坐标代入，化简得，．…………（3分）

（2）解法一：设，则，所以．……（1分）

又，，所以

，…………（3分）

记，，则在上是减函数，在上是增函数．…………（2分）

所以，当时，取最小值，当时，取最大值．

所以△面积的取值范围是．…………（2分）

解法二：因为，（，），所以

，…（4分）

记，，则在上是减函数，在上是增函数．…………（2分）

所以，当时，取最小值，当时，取最大值．

所以△面积的取值范围是．…………（2分）

略

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题型：简答题

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简答题

（本题10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，且经过点，直线交椭圆于不同的两点A，B.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围。

正确答案

解：（Ⅰ），依题意设椭圆方程为：把点代入，得椭圆方程为（5分）

（Ⅱ）把代入椭圆方程得：，

由△可得（10分）

略

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题型：简答题

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简答题

（本题满分13分）

设椭圆的左、右焦点分别为F1与F2，直线过椭圆的一个焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，若的周长为。

（1）求椭圆C的方程；

（2）设椭圆C经过伸缩变换变成曲线，直线与曲线相切且与椭圆C交于不同的两点A、B，若，求面积的取值范围。（O为坐标原点）

正确答案

,

（1）依题意与轴交于点F2（1，0）

即（1分）

又

所以

所以椭圆C的方程为（4分）

（2）依题意曲线的方程为

即圆（5分）

因为直线与曲线相切，

所以，

即（6分）

由

得

设

所以，

所以（7分）

所以（8分）

所以

又

所以（9分）

所以

又

所以，

所以（10分）

又

设

因为，所以

在上为递增函数，

所以（12分）

又O到AB的距离为1，

所以

即的面积的取值范围为（13分）

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题型：简答题

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简答题

求椭圆的长轴长和短轴长、离心率、焦点和顶点坐标及准线方程。

正确答案

略

把已知方程化为标准方程，这里，，因此椭圆的长轴长为，短轴长为，离心率为，焦点坐标为，，椭圆的四个顶点为，，，，准线方程为：。

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为

正确答案

解：设AF=4m，BF=m．过A，B分别做准线的垂线，垂足为A1，B1．有双曲线定义得，

|AA1|=．|BB1|=．过B做BD垂直于AA1垂足D．

在△ABD中，∠ABD=30°，|AD|= |AB|．即= ×5m．解得e=

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为F1和F2 ，以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l与椭圆相交于A，B两点，且.求证：直线l在y轴上的截距为定值。

正确答案

（1）（2）.直线l在y轴上的截距为定值

本试题主要是考查了椭圆的方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合运问题，以及韦达定理的综合运用。

（1）利用椭圆的性质可知参数a,b,c的值，求解得到椭圆的方程。

（2）因为，所以直线与x轴不垂直.设直线的方程为，然后直线与椭圆联立方程组，借助于韦达定理来解决

（1）由题设知，又，所以，故椭圆方程为；……2分

（2）因为，所以直线与x轴不垂直.设直线的方程为，由得，所以

…………………6分

又，所以，即，

，

整理得，

即，…………10分

因为，所以，

展开整理得，即.直线l在y轴上的截距为定值

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题型：填空题

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填空题

若P是以F1F2为焦点的椭圆＋＝1上一点，则DPF1F2的周长等于_________。

正确答案

36

因为点在以为焦点的椭圆上，所以有，且，则

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题型：填空题

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填空题

若椭圆与曲线有公共点,则椭圆的离心率的取值范围是_________________.

正确答案

椭圆焦点在x轴上，圆与其有公共点，只需即

所以而离心率,所以

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分13分）

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为

该椭圆上一点，

(I)求椭圆的方程．

(II)过点作直线与椭圆相交于点，若以为直径的圆经原点，求直线的方程

正确答案

(I) 椭圆C:（a＞b＞0）过点则…………………1分

,…………………………………………………4分

∴椭圆的标准方程是………………………………………………5分

(II) 设依题设直线的方程为

联立得，

整理得，…………………………………6分

于是，．……………………………7分

……………………………8分

∴

………………………9分

由知．将(1)式和(2)式代入得

解得

且满足…………………………12分

所以所求的直线方程为………………………………………………13分

略

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆的离心率为，则__________.

正确答案

椭圆的离心率为

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