圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知椭圆C：＋＝1的左．右焦点为，离心率为，直线与x轴、y轴分别交于点，是直线与椭圆C的一个公共点，是点关于直线的对称点，设＝

（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）确定的值，使得是等腰三角形.

正确答案

解：（Ⅰ）因为分别是直线与x轴、y轴的交点，所以的坐标分别是.

所以点的坐标是（）. 由

即，得

（Ⅱ）由，得为钝角，要使为等腰三角形，必有，即

设点到的距离为，由

得所以，于是

即当时，为等腰三角形

略

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆（,且为常数），椭圆焦点在轴上，椭圆的长轴长与椭圆的短轴长相等，且椭圆与椭圆的离心率相等，则椭圆的方程为： .

正确答案

依题意设椭圆方程为；则根据条件得：

。解得.所以椭圆的方程为

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题型：填空题

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填空题

已知点A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是_________．

正确答案

(±)

∵点P在椭圆上，∴设点P的坐标为(2cosθ，sinθ)，

则｜AP｜＝．∴当sinθ＝－时，｜AP｜最大，此时P的坐标为(±)．

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题型：简答题

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简答题

椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项，求椭圆的离心率。

正确答案

由题设得：，∴又，∴，展开后等式两边同除以得：，即，∴，即，∴。

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题型：简答题

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简答题

(本小题满分14分)设椭圆与抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上至少取两个点，将其坐标记录于下表中:

1)求，的标准方程, 并分别求出它们的离心率；

2)设直线与椭圆交于不同的两点，且（其中坐标原点），请问是否存在这样的直线过抛物线的焦点若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

正确答案

（1），，，。（2）。

试题分析：（1）∵焦点在x轴上，且椭圆与抛物线的中心与顶点在原点，又过点，

故点在椭圆上，点在抛物线上

，

∴点在上，

设

把点代入得，

由抛物线知

（2）由得

若l与x轴垂直，则l:x=1

由

设不满足

若存在直线l不与x轴垂直，可设为

设

由

所求的直线为

点评：（1）做第一问的关键是确定哪两个点在椭圆上，哪两个点在抛物线上。（2）在求直线与圆锥曲线相交的有关问题时，通常采用设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理。

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）

已知直线经过椭圆S：的一个焦点和一个顶点．

（1）求椭圆S的方程；

（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．

①若直线PA平分线段MN，求k的值；

②对任意，求证：．

正确答案

解：（1）在直线中令得；令得

，

则椭圆方程为

（2）①,,M、N的中点坐标为(，)，所以

（3）法一：将直线PA方程代入，解得，记，则

，，于是，故直线AB方程为

代入椭圆方程得，由，因此

，

法二：由题意设，

A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，

，两式相减得：

略

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题型：填空题

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填空题

若椭圆的两焦点是,，且该椭圆过点，则该椭圆的标准方程是_______________

正确答案

依题意可得，椭圆的焦点在轴上且。因为椭圆过点，根据椭圆几何性质有，则，所以，故椭圆的标准方程为

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题型：填空题

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填空题

椭圆的离心率为，则的值为_____________.

正确答案

由条件知：

所以，解得

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，右焦点F的坐标为（2，0），右准线方程为（I）求椭圆C的方程；（II）过点F作斜率为k的直线l，与椭圆C交于A、B两点，若，求k的取值范围。

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ)

（I）由已知，

故椭圆C的方程为………………4分

（II）设

则A、B坐标是方程组的解。

消去，则

， ………………7分

所以k的取值范围是 ………………12分

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题型：简答题

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简答题

．（本小题满分13分）

P为椭圆上任意一点，为左、右焦点，如图所示．

(1)若的中点为，求证:

(2)若∠，求|PF1|·|PF2|之值；

(3)椭圆上是否存在点P，使·＝0，若存在，求出P点的坐标，若不存在，试说明理由

正确答案

(1)证明：在△F1PF2中，MO为中位线，

∴|MO|＝＝＝a－＝5－|PF1|.

(2)解：∵ |PF1|＋|PF2|＝10，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝100－2|PF1|·|PF2|，

．

略

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，左焦点为,右顶点为,设点.

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，过P点向椭圆的长轴做垂线，垂足为Q求线段PQ的中点的轨迹方程；

正确答案

（1）由已知得椭圆的半长轴=2,半焦距c=,则半短轴b="1. "

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

（2）设线段PQ的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0)，

那么：，即

由点P在椭圆上,得,

∴线段PQ中点M的轨迹方程是.

略

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题型：填空题

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填空题

若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率是 .

正确答案

略

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题型：填空题

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填空题

点是椭圆上的一点，是焦点，且，则的面积为

正确答案

依题意可得，。根据椭圆的几何性质可得，。因为，所以，即，故有，解得。所以

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题型：填空题

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填空题

.已知椭圆的离心率，则的值为：

正确答案

3或

当椭圆焦点在轴上时，，，解得；当椭圆焦点在轴上时，，，解得。综上可得，或

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分8分）求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点的坐标.

正确答案

10,8,3/5，（3,0）（-3,0）

略

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