圆锥曲线与方程_章节学习

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题型：填空题

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填空题

过椭圆的左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为，则离心率=_________

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

如果椭圆的一个焦点坐标为，求的值。

正确答案

。椭圆的方程可以化为：，而焦点的坐标为，所以，∴。

1

题型：填空题

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填空题

设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4），则的最大值为__________.

正确答案

15

试题分析：，此时点P为直线与椭圆的交点，故填15

点评：利用椭圆定义转化为求解距离差的最值问题，然后借助对称性转化，根据两点之间线段最短进行求解，其过程简便.

1

题型：填空题

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填空题

双曲线与椭圆有相同的焦点，直线为的一条渐近线，则双曲线的方程是

正确答案

因为双曲线C与椭圆有相同的焦点，所以c=2,并且焦点在在x轴上，所以双曲线的方程为.

1

题型：填空题

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填空题

等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。

正确答案

椭圆的焦点坐标为，则设等轴双曲线方程为，从而有，解得，所以双曲线方程为

1

题型：简答题

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简答题

(本题10分)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1.

(Ⅰ)求椭圆C的方程；

(Ⅱ)若直线与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求该定点的坐标.

正确答案

解：（1）依题意知a=2,c=1,得=3，

∴椭圆C的方程是： 4′

（2）设A(x1,y1),B(x2,y2)，知椭圆C的右顶点为M（2,0）

由 2′

且

而

∴

∴ 2′

整理得

当时，过定点M（2,0）为右顶点，舍去；

当时，过定点，此时，

综上知，直线l过定点. 2′

略

1

题型：填空题

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填空题

若点为圆的弦的中点，则直线的方程是_____

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（本题满分13分）已知是椭圆的两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，且，⊙是以为直径的圆，直线：与⊙相切，并且与椭圆交于不同的两点

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当，且满足时，求弦长的取值范围.

正确答案

，

解:（1）依题意，可知，∴，解得

∴椭圆的方程为………………………5分

（2）直线：与⊙相切，则，即，……6分

由，得，

∵直线与椭圆交于不同的两点设∴，

，

∴……………….9分

∴∴，

∴…………….11分

设，则，

∵在上单调递增∴……………13分

1

题型：简答题

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简答题

(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率.直线:与椭圆C相交于两点, 且.

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P(，0)，A、B为椭圆C上的动点,当时,求证:直线AB恒过一个定点.并求出该定点的坐标.

正确答案

，

解：(1)设椭圆方程为(a>b>0)，

令则

２分

由得: 4分

椭圆C的方程是: 　　7分

(2) 当直线l不垂直于x轴时,设：　

　得

10分

当时，恒过定点

当时，恒过定点，不符合题意舍去　 12分

当直线l垂直于x轴时，若直线AB：　　

则AB与椭圆Ｃ相交于，　　　

，满足题意

综上可知，直线恒过定点，且定点坐标为　 14分

1

题型：填空题

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填空题

若方程表示椭圆，则的取值范围是______________.

正确答案

(1,2)∪(2,3)

试题分析：因为，方程表示椭圆，

所以，，解得，的取值范围是(1,2)∪(2,3)。

点评：简单题，利用椭圆的几何性质，建立m的不等式组。

1

题型：填空题

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填空题

设椭圆的右焦点为F，C为椭圆短轴的端点，向量绕F点顺时针旋转后得到向量,其中点恰好落在直线上，则该椭圆的离心率为__________________________

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（12分）已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点为，一个定点为，且，过点的直线与椭圆相交于两点。（1）求椭圆的方程和离心率；（2）若以为直径的圆恰好过坐标原点，求直线的方程。

正确答案

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分14分）设椭圆的左焦点为，上顶点为，过点与垂直的直线分别交椭圆与轴正半轴于点，且. ⑴求椭圆的离心率；⑵若过、、三点的圆恰好与直线相切，求椭圆的方程.

正确答案

,

解：⑴设，由知．………2分

． ………4分

设，得．

因为点在椭圆上，所以． ………6分

整理得，即,故椭圆的离心率．…8分

⑵由⑴知，，于是；

的外接圆圆心为，半径． ……12分

所以，解得，所求椭圆方程为．……14分

1

题型：填空题

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填空题

、设P是椭圆上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则等于

正确答案

10

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题12分）

设椭圆右焦点为，它与直线相交于、两点，与轴的交点到椭圆左准线的距离为，若椭圆的焦距是与的等差中项.

⑴求椭圆离心率；

⑵设点与点关于原点对称，若以为圆心，为半径的圆与相切，且求椭圆的方程.

正确答案

,

解：⑴由得，即所以……5分

⑵设椭圆方程为，将代入椭圆方程可得：，由于则有，并且，，……8分

而代入上式得，所以，.所求椭圆方程为……12分

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正确答案

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