用数学归纳法证明不等式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

当时，，

(I)求;

(II)猜想与的关系，并用数学归纳法证明.

正确答案

(I)1/2 7/12 1/2 7/12

(II)

本试题主要考查了数列的通项公式的求解和数学归纳法的运用。

解：（1），

，

（2）猜想：即：

（n∈N*）

下面用数学归纳法证明

① n=1时，已证S1=T1

② 假设n=k时，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），即：

则

由①，②可知，对任意n∈N*，Sn=Tn都成立.

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题型：简答题

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简答题

如图，在圆内画条线段，将圆分割成两部分；画条相交线段，彼此分割成条线段，将圆分割成部分；画条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分；画条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分.

（1）猜想：圆内两两相交的条线段，彼此最多分割成多少条线段？

（2）记在圆内画条线段，将圆最多分割成部分，归纳出与的关系.

（3）猜想数列的通项公式，根据与的关系及数列的知识，证明你的猜想是否成立.

正确答案

（1）彼此最多分割成条线段. （2）由已知得

（3）

（1）利用数学归纳知识归纳出结论；（2）根据相邻项的关系列出关系式；（3）利用叠加法求解数列的通项，然后利用数学归纳法证明即可

（1）彼此最多分割成条线段. ………………………………4分

（2）由已知得 ………………………………8分

（3）

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题型：简答题

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简答题

如图，在圆内画条线段，将圆分割成两部分；画条相交线段，彼此分割成条线段，将圆分割成部分；画条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分；画条线段，彼此最多分割成条线段，将圆最多分割成部分.

（1）猜想：圆内两两相交的条线段，彼此最多分割成多少条线段？

（2）记在圆内画条线段，将圆最多分割成部分，归纳出与的关系.

（3）猜想数列的通项公式，根据与的关系及数列的知识，证明你的猜想是否成立.

正确答案

（1）彼此最多分割成条线段. （2）由已知得

（3）

（1）利用数学归纳知识归纳出结论；（2）根据相邻项的关系列出关系式；（3）利用叠加法求解数列的通项，然后利用数学归纳法证明即可

（1）彼此最多分割成条线段. ………………………………4分

（2）由已知得 ………………………………8分

（3）

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题型：简答题

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简答题

由下列各式：

你能得出怎样的结论，并进行证明.

正确答案

对所给各式进行比较观察，注意各不等式左边的最后一项的分母特点：1=21-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，…，一般的有2n-1，对应各式右端为一般也有.

解：归纳得一般结论

证明：当n=1时，结论显然成立.

当n≥2时，

故结论得证.

，.

故

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题型：简答题

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简答题

数列{an}满足Sn=2n-an(n∈N*).

(1)计算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式an;

（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.

正确答案

（1）a1=1，a2= a3= a4= an=(n∈N*)（2）证明略

（1）解当n=1时，a1=S1=2-a1,∴a1=1.

当n=2时，a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=.

当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.

当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=.

由此猜想an=(n∈N*).

（2）证明 ①当n=1时，a1=1，结论成立.

②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立，即ak=,

那么n=k+1时，

ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.

∴2ak+1=2+ak,

∴ak+1===,

这表明n=k+1时，结论成立，

由①②知猜想an=（n∈N*）成立.

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