热门试卷

（1）当n=1时，f（1）=1，g（1）=1，所以f（1）=g（1）；

当n=2时，f(2)=，g(2)=，

所以f（2）＜g（2）；

当n=3时，f(3)=，g(3)=，

所以f（3）＜g（3）．

（2）由（1），猜想f（n）≤g（n），下面用数学归纳法给出证明：

①当n=1，2，3时，不等式显然成立．

②假设当n=k（k≥3）时不等式成立，

即1++++＜-，

那么，当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+＜-+，

因为-(-)=-=＜0，

所以f(k+1)＜-=g(k+1)．

由①、②可知，对一切n∈N*，都有f（n）≤g（n）成立．

证明略

(1)当n=1时,,不等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，即，

则，

当n=k+1时， 不等式也成立

综合（1）（2），不等式对所有正整数都成立

见解析

（Ⅲ）假设存在正整数成立，

即有（）+＝1.　　②

又由（Ⅱ）可得

（）+

+与②式矛盾，

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n.

故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形；

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，32+42＝52，等式成立；

当n=3时，33+43+53＝63，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74,等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立.

综上，所求的n只有n=2,3.

综合（1）、（2）可知等式对于任意正整数都成立。…………………………………12分