热门试卷

证明：（1）当时，左边，右边左边，∴等式成立．

（2）设当时，等式成立，

即． 则当时，

左边

∴ 时，等式成立．

由（1）、（2）可知，原等式对于任意成立．

首先证明当n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，得到等式

，

下面证明当n=k+1时等式左边

，

根据前面的假设化简即可得到结果，最后得到结论．

证明：（1）当n=2时，左边-右边=-()2=()2≥0，不等式成立．（2分）

（2）假设当n=k（k∈N*，k＞1）时，不等式成立，即 ≥()k．（4分）

因为a＞0，b＞0，k＞1，k∈N*，

所以（ak+1+bk+1）-（akb+abk）=（ak-bk）（a-b）≥0，于是ak+1+bk+1≥akb+abk．（6分）

当n=k+1时，()k+1=()k•≤•=

≤=．

即当n=k+1时，不等式也成立．（9分）

综合（1），（2）知，对于a，b∈R+，n＞1，n∈N*，不等式 ≥()n总成立（11分）．

（Ⅰ）∵an+12-an2=2，∴an2为首项为1，公差为2的等差数列，

∴an2=1+（n-1）×2=2n-1，又an＞0，则an=

（Ⅱ）只需证：1++…+≤ ．

1当n=1时，左边=1，右边=1，所以命题成立．

当n=2时，左边＜右边，所以命题成立

②假设n=k时命题成立，即1++…+≤，

当n=k+1时，左边=1++…++≤+．

＜+

=+

=．命题成立

由①②可知，++…+≤对一切n∈N+恒成立．

见解析

证明：(1)当n＝1时，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．

(2)假设当n＝k时，42k＋1＋3k＋2能被13整除，

则当n＝k＋1时，

42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3

＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)

∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除，