热门试卷

（1）∵a2=(1-a21)，且a1∈（0，1），由二次函数性质可知a2∈（0，）．

∵a3=(1-)及a2∈(0，)∴a3∈(，)．(3分)

（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，＜a3＜，

则-＜-(-1)＜a3-(-1)＜-(-1)＜，

于是当n=3时，|an-(-1)|＜成立．

②假设在n=k（k≥3）时，|an-(-1)|＜（*）成立，即|ak-(-1)|＜．

则当n=k+1时，|ak+1-(-2)|=|--(-1)|=|ak-(-1)|•|ak+-1|，

其中0＜ak+-1＜2(-1)+＜1(k≥3)

于是|ak+1-(-1)|＜|ak-(-1)|＜，

从而n=k+1时（*）式得证．

综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(-1)|＜．

（3）由|an-(-1)|＜(n≥3)变形为：|-|＜•=•，

而由-1-＜an＜-1+（n≥3，n∈N）

可知：-1-＜an＜+1+在n≥3上恒成立，

于是＜，＜＜12，

又∵|an-(-1)|＜，∴|-(+1)|＜，

从而原不等式|bn-(+1)|＜（n≥3，n∈N）得证．（14分）

证明：当n=1时，

xn-nan-1x+（n-1）an=x-x=0

易得此时xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立；

设n=k时，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除成立，

即xk-kak-1x+（k-1）ak能被（x-a）2整除成立，

则n=k+1时，

xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1=xk-kak-1x+（k-1）ak+kak─1（x─a）2

即xn-nan-1x+（n-1）an=xk+1-（k+1）akx+kak+1也能被（x-a）2整除

综合，xn-nan-1x+（n-1）an能被（x-a）2整除（a≠0）．

（1）()．（2）当时，满足条件.

试题分析：（1）第一步是归纳，分别进行计算. 由已知得，．所以时，；当时，．第二步猜想，()．第三步证明，本题可用数学归纳法证，也可证等式恒成立，（2）探求整数解问题，一般要构造一个可说明的整式. 设，则，又，且501=1501=3167，故 或所以 或

由解得；由得无整数解．所以当时，满足条件．

试题解析：（1）由已知得，．

所以时，；当时，．      2分

猜想：()．                                   3分

下面用数学归纳法证明：

①当时，结论成立．

②假设当时，结论成立，即，

将代入上式，可得．

则当时，

．

故当结论成立，

根据①,②可得，()成立．                        5分

（2）将代入，得，

则，，

设，则，

即，                                   7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得无整数解．

所以当时，满足条件．                                          10分

见解析

【证明】(1)当n=2时,左边=+=>,不等式成立.

(2)假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,不等式成立,

则++…+>,

则当n=k+1时,

左边=++…+++

=+++…+++->+->.

∴当n=k+1时,不等式成立,

根据(1)(2)知,原不等式对n∈N*且n>1都成立.