- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
设n∈N*，f(n)＝1＋
正确答案
当n＝1，2时f(n)<
当n＝1，2时f(n)<
当n≥3时f(n)>
下面用数学归纳法证明：
①当n＝3时，显然成立；
②假设当n＝k(k≥3，k∈N)时，即f(k)>
由①②知，对任何n≥3，n∈N不等式成立．
用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，1-
正确答案
证明：（1）当n=1时，左=1-
（2）假设当n=k时等式成立，
即1-
则1-
综合（1）（2），等式对所有正整数都成立．
若xi＞0（i=1，2，3，…，n），观察下列不等式：（x1+x2）（
请你猜测（x1+x2+…+xn）（
正确答案
满足的不等式为（x1+x2+…+xn）（
证明如下：
（1）当n=2时，猜想成立；
（2）假设当n=k时，猜想成立，即（x1+x2+…+xn）（
那么n=k+1时，（x1+x2+…+xk+1）（
则当n=k+1时猜想也成立，根据（1）（2）可得猜想对任意的n∈N，n≥2都成立．
已知数列{an}满足a1=a，an+1=
（Ⅰ）依次计算a2，a3，a4，a5；
（Ⅱ）猜想an的表达式，并用数学归纳法进行证明．
正确答案
（I）分别令n=1，2，3，4，得：
a2=
a4=
a5=
（II）由此，猜想 an=
下面用数学归纳法证明此结论正确．
证明：（1）当n=1时，显然结论成立
（2）假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即 ak=
那么ak+1=
也就是说，当n=k+1时结论成立．
根据（1）和（2）可知，结论对任意正整数n都成立，即 an=
已知α1，α2，…αn∈（0，π），n是大于1的正整数，求证：|sin（α1+α2+…+αn）|＜sinα1+sinα2+…+sinαn．
正确答案
证明：下面用数学归纳法证明
（1）n=2时，|sin（α1+α2）|-|sinα1cosα2+cosα1sinα2|≤sinα1|cosα2|+|cosα1|•|sinα2|＜sinα1+sinα2，
所以n=2时成立．
（2）假设n=k（k≥2）时成立，即
|sin（α1+α2+Λ+αk）|＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk
当n=k+1时，|sin（α1+α2+Λ+αk+1）|=
=|sinαk+1cos（α1+Λαk）+cosαk+1sin（α1+Λαk）|
≤sinαk+1|cos（α1+Λ+αk）|+|cosαk+1|•|sin（α1+Λαk）|
＜sinαk+1+|sin（α1+Λαk）|
＜sinα1+sinα2+Λ+sinαk+1
∴n=k+1时也成立．
由（1）（2）得，原式成立．
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