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题型:简答题
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简答题

设函数f(x)的定义域、值域均为R,f(x)的反函数为f-1(x),且对任意实数x,均有f(x)+f-1(x)<x,定义数列an:a0=8,a1=10,an=f(an-1),n=1,2,….

(1)求证:an+1+an-1<an(n=1,2,…);

(2)设bn=an+1-2an,n=0,1,2,….求证:bn<(-6)()n(n∈N*);

(3)是否存在常数A和B,同时满足①当n=0及n=1时,有an=成立;②当n=2,3,…时,有an<成立.如果存在满足上述条件的实数A、B,求出A、B的值;如果不存在,证明你的结论.

正确答案

(1)∵f(x)+f-1(x)<x,令x=an,∴f(an)+f-1(an)<an.

即an+1+a n-1<an.

(2)∵an+1<an-an-1,∴an+1-2an<(an-2an-1),

即bn<bn-1.∵b0=a1-2a0=-6,

∴bn<bn-1<(

1

2

)2bn-2<…<(

1

2

)nb0=(-6)(

1

2

)n(n∈N*).

(3)由(2)可知:an+1<2an+(-6)()n

假设存在常数A和B,使得an=对n=0,1成立,

,解得A=B=4.

下面用数学归纳法证明an<对一切n≥2,n∈N成立.

1°当n=2时,由an+1+an-1<an,得a2<a1-a0=×10-8=17=

∴n=2时,an<成立.

2°假设n=k(k≥2),不等式成立,即ak<

则ak+1<2ak+(-6)()k+==

即是说当n=k+1时,不等式也成立.

所以存在A,B,且A=B=4.

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题型:简答题
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简答题

用数学归纳法证明:+++…+  (n∈N,n≥1)

正确答案

证明:(1)当n=1时,左边=,∴n=1时成立(2分)

(2)假设当n=k(k≥1)时成立,即

+++…+

那么当n=k+1时,左边=++…+++

=+++…+++-

+-

∴n=k+1时也成立(7分)

根据(1)(2)可得不等式对所有的n≥1都成立(8分)

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题型:填空题
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填空题

用数学归纳法证明)时,从“n=”到“n=”的证明,左边需增添的代数式是___________. 

正确答案

.

试题分析:当时,等号左边的代数式为,当时,等号左边的代数式为,∴.

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题型:简答题
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简答题

数列{an}满足a1=1且an+1=(1+)an+(n≥1).

(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);

(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….

正确答案

(Ⅰ)证明:

①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.

②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),

那么ak+1=(1+)ak+≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.

根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.

(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+)an+≤(1++)an(n≥1)

两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1++)+lnan≤lnan++

故lnan+1-lnan+(n≥1).

上式从1到n-1求和可得lnan-lna1++…++++…+

=1-+(-)+…+-+=1-+1-<2

即lnan<2,故an<e2(n≥1).

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题型:简答题
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简答题

是否存在常数a、b、c使等式1•(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.

正确答案

分别用n=1,2,3代入解方程组

下面用数学归纳法证明.

(1)当n=1时,由上可知等式成立;

(2)假设当n=k时,等式成立,

则当n=k+1时,左边=1•[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]

=1•(k2-12)+2(k2-22)++k(k2-k2)+1•(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)

=k4+(-)k2+(2k+1)+2(2k+1)++k(2k+1)

=(k+1)4-(k+1)2

∴当n=k+1时,等式成立.

由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.

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