- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
设函数f(x)的定义域、值域均为R,f(x)的反函数为f-1(x),且对任意实数x,均有f(x)+f-1(x)<x,定义数列an:a0=8,a1=10,an=f(an-1),n=1,2,….
(1)求证:an+1+an-1<an(n=1,2,…);
(2)设bn=an+1-2an,n=0,1,2,….求证:bn<(-6)()n(n∈N*);
(3)是否存在常数A和B,同时满足①当n=0及n=1时,有an=成立;②当n=2,3,…时,有an<
成立.如果存在满足上述条件的实数A、B,求出A、B的值;如果不存在,证明你的结论.
正确答案
(1)∵f(x)+f-1(x)<x,令x=an,∴f(an)+f-1(an)<
an.
即an+1+a n-1<an.
(2)∵an+1<an-an-1,∴an+1-2an<
(an-2an-1),
即bn<bn-1.∵b0=a1-2a0=-6,
∴bn<bn-1<(
1
2
)2bn-2<…<(
1
2
)nb0=(-6)(
1
2
)n(n∈N*).
(3)由(2)可知:an+1<2an+(-6)()n,
假设存在常数A和B,使得an=对n=0,1成立,
则,解得A=B=4.
下面用数学归纳法证明an<对一切n≥2,n∈N成立.
1°当n=2时,由an+1+an-1<an,得a2<
a1-a0=
×10-8=17=
,
∴n=2时,an<成立.
2°假设n=k(k≥2),不等式成立,即ak<,
则ak+1<2ak+(-6)()k<
+
=
=
即是说当n=k+1时,不等式也成立.
所以存在A,B,且A=B=4.
用数学归纳法证明:+
+
+…+
>
(n∈N,n≥1)
正确答案
证明:(1)当n=1时,左边=>
,∴n=1时成立(2分)
(2)假设当n=k(k≥1)时成立,即
+
+
+…+
>
那么当n=k+1时,左边=+
+…+
+
+
=+
+
+…+
+
+
-
>+
-
>
.
∴n=k+1时也成立(7分)
根据(1)(2)可得不等式对所有的n≥1都成立(8分)
用数学归纳法证明(
)时,从“n=
”到“n=
”的证明,左边需增添的代数式是___________.
正确答案
.
试题分析:当时,等号左边的代数式为
,当
时,等号左边的代数式为
,∴
.
数列{an}满足a1=1且an+1=(1+)an+
(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….
正确答案
(Ⅰ)证明:
①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),
那么ak+1=(1+)ak+
≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.
根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.
(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+)an+
≤(1+
+
)an(n≥1)
两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1++
)+lnan≤lnan+
+
故lnan+1-lnan≤+
(n≥1).
上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤+
+…+
+
+
+…+
=1-+(
-
)+…+
-
+
•
=1-
+1-
<2
即lnan<2,故an<e2(n≥1).
是否存在常数a、b、c使等式1•(n2-12)+2(n2-22)+…+n(n2-n2)=an4+bn2+c对一切正整数n成立?证明你的结论.
正确答案
分别用n=1,2,3代入解方程组⇒
下面用数学归纳法证明.
(1)当n=1时,由上可知等式成立;
(2)假设当n=k时,等式成立,
则当n=k+1时,左边=1•[(k+1)2-12]+2[(k+1)2-22]+…+k[(k+1)2-k2]+(k+1)[(k+1)2-(k+1)2]
=1•(k2-12)+2(k2-22)++k(k2-k2)+1•(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1)
=k4+(-
)k2+(2k+1)+2(2k+1)++k(2k+1)
=(k+1)4-
(k+1)2.
∴当n=k+1时,等式成立.
由(1)(2)得等式对一切的n∈N*均成立.
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