热门试卷

见解析

试题分析：先验证n=1时命题成立，然后假设n=k时成立，再证明n=k+1也成立即可.

①当，不等式显然成立.              2分

②假设时不等式成立，

即              4分

当时，

左边=

不等式成立.                   7分

由①②可知，对一切都有          8分

（1）；   （2）见解析；

本试题主要是考查了二项式定理和数学归纳法的运用。

（1）记，

则

（2）设，则原展开式变为：，

则

所以

然后求和，并运用数学归纳法证明。

解：（1）记，

则（4分）

（2）设，则原展开式变为：，

则

所以（6分）

当时，，结论成立

假设时成立，即

那么时，

，结论成立。（9分）

所以当时，。（10分）

（1）由题an=an-1+2n×3n-2知，=+2×3n-2，

由累加法，当n≥2时，-=2+2×3+2×32++2×3n-2

代入a1=1，得n≥2时，=1+=3n-1

又a1=1，故an=n•3n-1（n∈N*）．

（2）n∈N*时，bn==．

方法1：当n=1时，S21=1+＞1；当n=2时，S22=1+++＞2；

当n=3时，S23=1++++++＜3．

猜想当n≥3时，S2n＜n．

下面用数学归纳法证明：

①当n=3时，由上可知S23 ＜3成立；

②假设：n=k（k≥3）时，上式成立，即1+++…+＜k．

当n=k+1时，左边=1+++…+++…+＜k++…+＜k+＜k+1，

所以当n=k+1时成立．

由①②可知当n≥3，n∈N*时，S2n＜n．

综上所述：当n=1时，S21＞1；当n=2时，S22＞2；

当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．

方法2：S2n=1+++…+

记函数f(n)=S2n-n=(1+++…+)-n

所以f(n+1)=(1+++…+)-(n+1)

则f(n+1)-f(n)=(++…+)-1＜-1＜0

所以f（n+1）＜f（n）．

由于f(1)=S21-1=(1+)-1＞0，此时S21＞1；

f(2)=S22-2=(1+++)-2＞0，此时S22＞2；

f(3)=S23-3=(1+++++++)-3＜0，此时S23＜3；

由于，f（n+1）＜f（n），故n≥3时，f（n）≤f（3）＜0，此时S2n＜n．

综上所述：当n=1，2时，S2n＞n；当n≥3（n∈N*）时，S2n＜n．

（3）cn==3n

当n≥2时，≤==-

所以当n≥2时，Tn=++…+≤+(-)+(-)+…+(-)=2-＜2．

且T1=＜2故对n∈N*，Tn＜2得证．