热门试卷

证明：由x1=1，xn+1=1+知，xn＞0（n∈N*），

（Ⅰ）当p=2时，xn+1=1+，

（1）当n=1时，x1=1＜，命题成立．

（2）假设当n=k时，xk＜，

则当n=k+1时，xk+1=1+=2-＜2-=，

即n=k+1时，命题成立．

根据（1）（2），xn＜（n∈N*）．（4分）

（Ⅱ）用数学归纳法证明，xn+1＞xn（n∈N*）．

（1）当n=1时，x2=1+＞1=x1，命题成立．

（2）假设当n=k时，xk+1＞xk，

∵xk＞0，p＞0，

∴＜，

则当n=k+1时，xk+1=1+=2-＜2-=xk+2，

即n=k+1时，命题成立．

根据（1）（2），xn+1＞xn（n∈N*）．（8分）

故不存在正整数M，使得对于任意正整数n，都有xM≥xn．（10分）

解：（Ⅰ），，；（Ⅱ）猜想： 

证明：见解析.

本试题主要是考查了数列的递推关系式的运用，以及归纳猜想数列的通项公式，并运用数学归纳法加以证明的综合运用。

（1）对于n赋值，求解数列的前几项

（2）根据上一问的结论，归纳猜想其通项公式，然后运用数学归纳法分两步来证明。

解：（Ⅰ），，                ………3分

（Ⅱ）猜想：                         ………4分

证明：（1）当时，显然成立；                           ………5分

（2）假设当时，结论成立，即，则

当时，

当时结论也成立．                            ……………7分

综上（1）（2）可知，对N*，恒成立．         …………8分

当时，成立

略

解：猜想…………………………..4分

证明：

（2）

则当

所以，命题在n=k+1时也成立，综合（1），（2）,命题对任何都成立。

……………………………………12分

略