热门试卷

假设存在a、b、c使

12+22+32+…+n2+（n-1）2+…+22+12=an（bn2+c）

对于一切n∈N*都成立.

当n=1时，a（b+c）=1；

当n=2时，2a（4b+c）=6；

当n=3时，3a（9b+c）=19.

解方程组 解得

证明如下：

①当n=1时，由以上知存在常数a,b,c使等式成立.

②假设n=k（k∈N*）时等式成立，

即12+22+32+…+k2+（k-1）2+…+22+12

=k（2k2+1）；

当n=k+1时，

12+22+32+…+k2+（k+1）2+k2+（k-1）2+…+22+12

=k（2k2+1）+（k+1）2+k2

=k（2k2+3k+1）+（k+1）2

=k（2k+1）（k+1）+（k+1）2

=（k+1）（2k2+4k+3）

=（k+1）［2（k+1）2+1］.

即n=k+1时，等式成立.

因此存在a=，b=2，c=1，使等式对一切n∈N*都成立.

，证明见解析

先猜想，然后再用数学归纳法进行证明.

证明时分两个步骤：第一步，先验证是当n=1时，等式是否成立；

第二步，假设n=k时，等式成立；再证明当n=k+1时，等式也成立，再证明时一定要用上归纳假设.否则证明无效

（1）Sn=（n∈N*）（2）an=

（1）解 ∵an=Sn-Sn-1（n≥2）

∴Sn=n2（Sn-Sn-1），∴Sn=Sn-1（n≥2）

∵a1=1，∴S1=a1=1.

∴S2=，S3==，S4=，

猜想Sn=（n∈N*）.

（2）证明 ①当n=1时，S1=1成立.

②假设n=k（k≥1,k∈N*）时，等式成立，即Sk=，

当n=k+1时，

Sk+1=（k+1）2·ak+1=ak+1+Sk=ak+1+，

∴ak+1=，

∴Sk+1=（k+1）2·ak+1==，

∴n=k+1时等式也成立，得证.

∴根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立.

又∵ak+1=，∴an=.