热门试卷

（Ⅰ）∵=

∴anan+1+2an=4anan+1+2an+1，

即2an-2an+1=3anan+1，

所以-=

所以数列{}是以为首项，公差为的等差数列．                    

（II）由（Ⅰ）可得数列{}的通项公式为=，所以an=

∴ak-ak+1=-==．             

因为=k2 +3k+1+

当k∈N*时，一定是正整数，所以是正整数．

所以ak-ak+1是数列{an}中的项，是第项．                 

（Ⅲ）证明：由（II）知：an=，bn=(+5)=(+5)=n+4．

下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．

（1）当n=1时，显然25＞52，不等式成立．

（2）假设当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，

当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2

即有：2bn+1＞bn+12也成立．

综合（i）（ii）知：对任意n∈N*，都有不等式2bn＞bn2成立．

解：（1）由于的最大值不大于

所以，即①

又时

所以即

解得 ②

由①②得a=1。

（2）（i）当n=1时，，不等式成立；

因

所以，

故n=2时不等式也成立

（ii）假设时，不等式成立，

因为的对称轴为

知f（x）在为增函数，

所以由得

于是有

所以当n=k+1时，不等式也成立

根据（i）（ii）可知，对任何，不等式成立。

解：（1）∵

∴f（x）是R上的单调增函数。

（2）∵

即

又f（x）是增函数

∴

即

又

综上，。

用数学归纳法证明如下：

（i）当n=1时，上面已证明成立；

（ii）假设当n=k （k≥1）时有

当n=k+1时，由f（x）是单调增函数，有

∴

由（i）和（ii）对一切n=1，2，…，都有。

（3）

由（2）知，

∴

∴。

解：(Ⅰ)，

令，可得，

函数y=f(x)的增区间为（-2，0）和(1，+∞)，减区间为（-∞，-2）和(0，1)。 

 (Ⅱ)当时，，，

，

所以，f(x)在上的最小值为。

 (Ⅲ)设，

当n=1时，只需证明，

当时，，

所以，在上是增函数，

∴，即，

当时，假设n=k时不等式成立，

即，

当n=k+1时，

因此，，

所以，在上是增函数，

所以，，

即当n=k+1时，不等式成立，

所以，当时，。