- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
已知f(n)=1+
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．
正确答案
（1）当n=1时，f（1）=1，g(1)=2(
当n=2时，f(2)=1+
当n=3时，f(3)=1+
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即1+
下面用数学归纳法证明：①当n=1时，上面已证．
②假设当n=k时，猜想成立，即1+
则当n=k+1时，f(k+1)=1+
而g(k+1)=2(
只要证：2(k+1)+1=2k+3＞2
即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．所以，当n=k+1时猜想也成立．
综上可知：对n∈N*，猜想都成立，
即1+
设函数
（1）若a=f'（2），b=f'（1），c=f'（0），求a、b、c的值；
（2）在（1）的条件下，记
求证：F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜
（3）设关于x的方程f'（x）=0的两个实数根为α、β，且1＜α＜β＜2．
试问：是否存在正整数n0，使得
正确答案
解：（1）f'（x）=x2+ax+b，由已知可得a=﹣1，b=c=﹣3
（2）
当n=1时，
当n=2时，
当n≥3时，
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜F（1）+F（2）+
所以F（1）+F（2）+F（3）+…+F（n）＜
（3）根据题设，可令f'（x）=（x﹣α）（x﹣β）．
∴f'（1）f'（2）=（1﹣α）（1﹣β）（2﹣α）（2﹣β）=
∴
所以存在n0=1或2，使
设函数f（x）=x-xlnx，数列{an}满足0＜a1＜1，an+1=f（an）。
（1）证明：函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（2）证明：an＜an+1＜1；
（3）设b∈（a1，1），整数k≥
正确答案
解：（1）当0＜x＜1时，f'（x）=1-lnx-1=-ln-x>0
所以函数f（x）在区间（0，1）是增函数；
（2）当0＜x＜1时，f（x）=x-xlnx>x，
又由（1）及f（x）在x=1处连续知，
当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=1，
因此，当0＜x＜1时，0＜x＜f（x）＜1 ①
下面用数学归纳法证明：
（i）由0＜a1＜1，a2=f（a1），应用式①得0＜a1＜a2＜1，即当n=1时，不等式②成立；
（ii）假设n=k时，不等式②成立，即
则由①可得
即
故当n=k+1时，不等式②也成立
综合（i）（ii）证得
（3）由（2）知，{an}逐项递增，故若存在正整数m≤k，使得
否则若am＜b（m≤k），则由0＜a1≤am＜n＜1（m≤k）知
由③知
于是
已知函数f（x）=m+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn+an+1xn+1，n∈N*。
（1）若f（x）=m+
①求以曲线y= f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②若函数f（x）在x=x1处取得极大值，在x=x2处取得极小值，且点（x1，f（x1））在第二象限，点（x2，f（x2））位于y轴负半轴上，求m的取值范围。
（2）当an=
正确答案
解：（1）由
①曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线的斜率k=f'（1）=2；
②f'（x）=x+x2=x（x+1）
由f'（x）<0，得-1＜x＜
（1）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数
正确答案
（1）解：对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1﹣x）ln（1﹣x）]'=lnx﹣ln（1﹣x）．
于是
当
当
所以
（2）用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，由（1）知命题成立．
（ii）假定当n=k时命题成立，即若正数
当n=k+1时，若正数
令
则
由归纳假定知
②综合①、②两式
≥[x+（1﹣x）]（﹣k）+xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）≥﹣（k+1）．
即当n=k+1时命题也成立．根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立．
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