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题型:简答题
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简答题

数列{an}满足

(Ⅰ)求a2,a3

(Ⅱ) 求证:a1+a2+…+an=

(Ⅲ)求证:

正确答案

(Ⅰ)解:∵数列{an}满足

(Ⅱ)证明:由知  

.                                                                                              (1)

所以,即.                          

从而  a1+a2+…+an=

=.                          

(Ⅲ) 证明:等价于证明,即    .                          (2)

当n=1时,,即n=1时,(2)成立.

设n=k(k≥1)时,(2)成立,即

当n=k+1时,由(1)知;        

又由(1)及均为整数,

从而由

所以  ,即(2)对n=k+1也成立.

所以(2)对n≥1的正整数都成立,

对n≥1的正整数都成立.    

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简答题

,g(x)是f(x)的反函数。

(Ⅰ)求g(x);

(Ⅱ)当x∈[2,6]时,恒有成立,求t的取值范围;

(Ⅲ)当时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n+4的大小,并说明理由。

正确答案

解:(Ⅰ)由题意得

(Ⅱ)由

①当时,

又因为

所以

列表如下:

所以h(x)最小值=5,所以0

时,

又因为x∈ [2,6]

所以t>(x-1)2(7-x)>0

令h(x)=(x-1)2(7-x),x∈[2,6],

由①知h(x)最大值=32

所以t>32

综上,当a>1时,0

当032。

(Ⅲ)设,则

时,

当n≥2时,设k≥2,k∈N*时

          

所以

从而

所以f(1)+f(2)+…+f(n)

综上,总有,f(1)+f(2)+…+f(n)< n+4。

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简答题

已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,…,

证明:(Ⅰ)0<an+1<an<1;   

(Ⅱ)

正确答案

证明:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,n=1,2,3,…

(i)当n=1时,由已知显然结论成立;

(ii)假设当n=k时结论成立,即

因为0<x<1时,

所以f(x)在(0,1)上是增函数,

又f(x)在[0,1]上连续,

从而

故n=k+1时,结论成立;

由(i)、(ii)可知,对一切正整数都成立,

又因为时,

所以

综上所述,

(Ⅱ)设函数,0<x<1,

由(Ⅰ)知,当0<x<1时,sinx<x,

从而

所以g(x)在(0,1)上是增函数,

又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,

所以当0<x<1时,g(x)>0成立,

于是

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简答题

设数列{an}满足:a1=2,an+1=an+(n=1,2,3,…)。

(1)证明:对一切n恒成立;

(2)令,判断bn与bn+1的大小,并说明理由。

正确答案

解:(1)当n=1时,,不等式成立

假设n=k成立,成立

当n=k+1时,

时,时成立

综上由数学归纳法可知,对一切正整数成立。

(2)

所以

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简答题

在数列中,

(Ⅰ)求,并猜想数列的通项公式(不必证明);

(Ⅱ)证明:当时,数列不是等比数列;

(Ⅲ)当时,试比较的大小,证明你的结论。

正确答案

解:(Ⅰ)∵

同理,可得

猜想

(Ⅱ)假设数列是等比数列,则也成等比数列,

,但,矛盾,

(Ⅲ)∵

∵当n=1,2,3时,

时,猜想

证明如下:当n=4时,显然

假设时,猜想成立,即

则当n=k+1时,

∴当时,猜想成立,

∴当时,

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