- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
数列{an}满足.
(Ⅰ)求a2,a3;
(Ⅱ) 求证:a1+a2+…+an=;
(Ⅲ)求证:.
正确答案
(Ⅰ)解:∵数列{an}满足.
∴,
(Ⅱ)证明:由知
,
. (1)
所以,即
.
从而 a1+a2+…+an=
=.
(Ⅲ) 证明:等价于证明
,即
. (2)
当n=1时,,
,即n=1时,(2)成立.
设n=k(k≥1)时,(2)成立,即 .
当n=k+1时,由(1)知;
又由(1)及知
均为整数,
从而由 有
即
,
所以 ,即(2)对n=k+1也成立.
所以(2)对n≥1的正整数都成立,
即对n≥1的正整数都成立.
设,g(x)是f(x)的反函数。
(Ⅰ)求g(x);
(Ⅱ)当x∈[2,6]时,恒有成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)当时,试比较f(1)+f(2)+…+f(n)与n+4的大小,并说明理由。
正确答案
解:(Ⅰ)由题意得
故;
(Ⅱ)由得
①当时,
又因为
所以
令
则
列表如下:
所以h(x)最小值=5,所以0
当时,
又因为x∈ [2,6]
所以t>(x-1)2(7-x)>0
令h(x)=(x-1)2(7-x),x∈[2,6],
由①知h(x)最大值=32
所以t>32
综上,当a>1时,0
当032。
(Ⅲ)设,则
当时,
当n≥2时,设k≥2,k∈N*时
则
所以
从而
所以f(1)+f(2)+…+f(n)
综上,总有,f(1)+f(2)+…+f(n)< n+4。
已知函数f(x)=x-sinx,数列{an}满足:0<a1<1,an+1=f(an),n=1,2,3,…,
证明:(Ⅰ)0<an+1<an<1;
(Ⅱ)。
正确答案
证明:(Ⅰ)先用数学归纳法证明,n=1,2,3,…
(i)当n=1时,由已知显然结论成立;
(ii)假设当n=k时结论成立,即,
因为0<x<1时,,
所以f(x)在(0,1)上是增函数,
又f(x)在[0,1]上连续,
从而,
故n=k+1时,结论成立;
由(i)、(ii)可知,对一切正整数都成立,
又因为时,
,
所以;
综上所述,。
(Ⅱ)设函数,0<x<1,
由(Ⅰ)知,当0<x<1时,sinx<x,
从而,
所以g(x)在(0,1)上是增函数,
又g(x)在[0,1]上连续,且g(0)=0,
所以当0<x<1时,g(x)>0成立,
于是,
故。
设数列{an}满足:a1=2,an+1=an+(n=1,2,3,…)。
(1)证明:对一切n恒成立;
(2)令,判断bn与bn+1的大小,并说明理由。
正确答案
解:(1)当n=1时,,不等式成立
假设n=k成立,成立
当n=k+1时,
∴时,
时成立
综上由数学归纳法可知,对一切正整数成立。
(2)
所以。
在数列中,
。
(Ⅰ)求,并猜想数列
的通项公式(不必证明);
(Ⅱ)证明:当时,数列
不是等比数列;
(Ⅲ)当时,试比较
与
的大小,证明你的结论。
正确答案
解:(Ⅰ)∵,
∴,
同理,可得,
,
猜想。
(Ⅱ)假设数列是等比数列,则
也成等比数列,
∴,
∵,
∴,
即,但
,矛盾,
(Ⅲ)∵,
∴,
∴,
∵当n=1,2,3时,,
∴,
当时,猜想
,
证明如下:当n=4时,显然,
假设时,猜想成立,即
,
则当n=k+1时,,
∵,
∴,
∴当时,猜想
成立,
∴当时,
。
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