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解：∵f′（x）=x2-1，an+1≥f′（an+1），

∴an+1≥（an+1）2-1

∵函数g（x）=（x+1）2-1=x2+2x在区间[1，+∞）上单调递增，

于是由an≥1，得a2≥（a1+1）2-1≥22-1，

由此猜想：an≥2n-1

以下用数学归纳法证明这个猜想：

①当n=1时，1=a1≥21-1=1，结论成立；

②假设n=k时结论成立，即ak≥2k-1，

则当n=k+1时，由g（x）=（x+1）2-1在区间[1，+∞）上单调递增知，

ak+1≥（ak+1）2-1≥22k-1≥2k+1-1，即n=k+1时，结论也成立

由①、②知，对任意n∈N*，都有an≥2n-1

即1+an≥2n，

∴，

∴。

解：（1）当n=1时，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)；

当n=2时，，，所以f(2)＜g(2)；

当n=3时，，，所以f(3)＜g(3)．

（2） 由（1），猜想f(n)≤g(n)；

下面用数学归纳法给出证明：

①当n=1，2，3时，不等式显然成立；

②假设当n=k(k≥3)时不等式成立，即，

那么，当n=k+1时，，

因为，

所以；

由①、②可知，对一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立．

（1）解：设，

∴p=，

∴是以1-=2-为首项，-1为公比的等比数列，

∴，

∴。

（2）证明：用数学归纳法证明：

①当n=1时，；

②假设n=k时，结论成立，

即，也就是，

当n=k+1时，

又，

∴，

即n=k+1时，结论成立。

由①②可知，。

解：（1）用数学归纳法证明：

（i）当时，原不等式成立；当时，左边，右边

因为

所以左边右边，原不等式成立；

（ii）假设当时，不等式成立，即，则当时

∵

∴

于是在不等式两边同乘以1+x得

所以

即当时，不等式也成立

综合（i）（ii）知，对一切正整数m，不等式都成立；

（2）当时，由（1）得：（令易得）

于是，m=1，2，3，…，n；

（3）由（2）知，当时

∴

即

即当时，不存在满足该等式的正整数n

故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形

当时，，等式不成立

当n=2时，，等式成立；

当n=3时，，等式成立；

当n=4时，为偶数，为奇数，故，等式不成立；

当n=5时，同的情形可分析出，等式不成立

综上，所求的n只有2，3。