热门试卷

解：（1）当n=1时，f（1）=1，，f（1）＞g（1），

当n=2时，，，f（2）＞g（2），

当n=3时，，g（3）=2，f（3）＞g（3）．

（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N*），即．

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，上面已证．

②假设当n=k时，猜想成立，即

则当n=k+1时，=；

而，

下面转化为证明：

只要证：，

需证：（2k+3）2＞4（k+2）（k+1），

即证：4k2+12k+9＞4k2+12k+8，此式显然成立．

所以，当n=k+1时猜想也成立．

综上可知：对n∈N*，猜想都成立，即成立．

证明：当n=1时，，a1＜a2，

所以n=1时，不等式成立．

假设n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1成立，

则n=k+1时，

=

=

=＞0；

即ak+2﹣ak+1＞0，

所以n=k+1时，不等式也成立．

综上所述，不等式成立．

（1）解：由题意，得，

即，

∴。

（2）解：由（1）知，，

当时，，即，

平方，得，

∴，

叠加，得，

∴，

∴。

（3）证明：当n=2时，，即n=2时，命题成立；

假设命题成立，即

，

当时，

，

即时，命题成立；

综上，对于任意，。

解：（Ⅰ）由题设知可化为

，

∵y=f(x)是定义在R上的单调减函数，

∴，即，

∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，

∴，

即n=。

（Ⅱ）Sn=a1+a2+a3+···+an =4(1+31+32+···+3n-1)=2(3n-1) ，

当n=1时，有Sn=6n2-2=4；

当n=2时，有Sn=16<6n2-2=22；

当n=3时，有Sn=6n2-2=52；

当n=4时，有Sn=160>6n2-2=94；

当n=5时，有Sn=484>6n2-2=148。

由此猜想当n≥4时， 有Sn>6n2-23n-1>n2，

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时显然成立；

②假设当n=k(k≥4，k∈N*)时， 有3k-1>k2；

当n=k+1时，有3k=3·3k-1>3k2，

∵k≥4，

∴k(k-1)≥12， ∴3k2-(k-1)2=2k(k-1)-1>0即3k2>(k+1)2，

∴3k>3k2>(k+1)2， ∴3k>(k+1)2，因此当n=k+1时原式成立。

由①②可知，当n≥4时有3n-1>n2，

即Sn>6n2-2，

综上可知当n=1，3时，有Sn=6n2-2；当n=2时，有Sn<6n2-2；当n≥4时，有Sn>6n2-2。