热门试卷

根据已知，a2=，a3==，a4=，

猜测an=．…（3分）

证明：①当n=1时，由已知，左边=，右边==，猜想成立．…（4分）

②假设当n=k（k∈N*）时猜想成立，即ak=，…（5分）

那么，ak+1=ak=•===，…（7分）

所以，当n=k+1时，猜想也成立．

根据①和②，可知猜想对于任何n∈N*都成立．…（8分）

（1）a0=1，a1=a0(4-a0)=，a2=a1(4-a1)=．

（2）用数学归纳法证明：

1°当n=0时，a0=1，a1=，∴a0＜a1＜2，命题正确．

2°假设n=k时，有ak-1＜ak＜2．

则n=k+1时，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak)．

而ak-1-ak＜0，4-ak-1-ak＞0，∴ak-ak-1＜0．

又ak+1=ak(4-ak)=[4-(ak-2)2]＜2，∴n=k+1时命题正确．

由1°、2°知，对一切n∈N，有an＜an+1＜2．

(1) ,;(2) ,证明过程见试题解析.

试题分析：（1）由已知得，令得，可得，又，令得，可得，依次分别求得其余各项； (2)由（1）中结果，易猜想出，用数学归纳法证明中，当时，需证，方可得结论成立.

解：（1）由已知条件得,

由此算出,

.

（2）由（1）的计算可以猜想,

下面用数学归纳法证明：

①当时，由已知可得结论成立,

②假设当时猜想成立，即．

那么，当时,

,

,

因此当时，结论也成立．

当①和②知，对一切，都有成立．    12分

当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，

当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，

根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64

即nn+1＞（n+1）n成立．

②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：＞1

则当n=k+1时，=(k+1)•()k+1＞(k+1)•()k+1=＞1

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，

∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．