- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
已知数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an=
（Ⅰ）计算f（1），f（2），f（3）的值；
（Ⅱ）比较f（n）与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论．
正确答案
（Ⅰ）由已知f(1)=S2=1+
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（1）＞1，f（2）＞1；当n≥3时，猜想：f（n）＜1．（4分）
下面用数学归纳法证明：
（1）由（Ⅰ）当n=3时，f（n）＜1；（5分）
（2）假设n=k（k≥3）时，f（n）＜1，即f(k)=
所以当n=k+1时，f（n）＜1也成立．由（1）和（2）知，当n≥3时，f（n）＜1．（9分）
所以当n=1，和n=2时，f（n）＞1；当n≥3时，f（n）＜1．（10分）
已知正项数列{an}中，a1=1，an+1=1+
正确答案
证明：当n=1时，a2=1+
假设n=k（k∈N*）时，ak＜ak+1成立，则n=k+1时，
ak+2-ak+1= 1+
=1+
=
=
即ak+2-ak+1＞0，
所以n=k+1时，不等式也成立．
综上所述，不等式an＜an+1(n∈N*)成立．
用数学归纳法证明：对于大于1的任意自然数n，都有
正确答案
证明：①当n=2时，结论成立；
②假设n=k（k＞1，k∈Z）时，不等式成立；
当n=k+1时，左边 ＜2-
下证：2-
即证：
即证
得结论成立，即当n=k+1时，不等式成立，
由①②根据归纳原理，不等式成立．
即得证．
是否存在常数
正确答案
试题分析：先探求出
解：取
即
以下用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证 6分
（2）假设当n=k，
即
那么，当
就是说，当
根据（1）（2）知，存在
已知函数f(x)=
正确答案
见解析
理由如下:
∵f'(x)=x2-1,an+1≥f'(an+1),
∴an+1≥(an+1)2-1.
令g(x)=(x+1)2-1,则函数g(x)=x2+2x在区间[1,+∞)上单调递增,于是由a1≥1,得a2≥(a1+1)2-1≥22-1,进而得a3≥(a2+1)2-1≥24-1>23-1,
由此猜想:an≥2n-1.
下面用数学归纳法证明这个猜想:
①当n=1时,a1≥21-1=1,结论成立;
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时结论成立,即ak≥2k-1,则当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间[1,+∞)上单调递增知,ak+1≥(ak+1)2-1≥22k-1≥2k+1-1,即n=k+1时,结论也成立.
由①②知,对任意n∈N*,都有an≥2n-1,
即1+an≥2n,∴
∴
【方法技巧】“归纳——猜想——证明”类问题的一般解题思路
通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用,其关键是归纳、猜想出公式.
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