- 用数学归纳法证明不等式
- 共357题
在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N+）．（Ⅰ）求a2，a3，a4，并猜想数列{an}的通项公式（不必证明）；（Ⅱ）证明：当λ≠0时，数列{an}不是等比数列；（Ⅲ）当λ=1时，试比较an与n2+1的大小，证明你的结论．
正确答案
（Ⅰ）∵a1=2，
∴a2=λa1+λ2+2（2-λ）=λ2+4，
同理可得，a3=2λ3+8，
a4=3λ4+16，
猜想an=（n-1）λn+2n．
（Ⅱ）假设数列{an}是等比数列，
则a1，a2，a3也成等比数列，
∴a22=a1•a3⇒（λ2+4）2=2（2λ3+8）⇒λ4-4λ3+8λ2=0，
∵λ≠0，∴λ2-4λ+8=0，即（λ-2）2+4=0，
但（λ-2）2+4＞0，矛盾，∴数列{an}不是等比数列．
（Ⅲ）∵λ=1，∴an=（n+1）+2n，
∴an-（n2+1）=2n-（n2-n+2），
∵当n=1，2，3时，2n=n2-n+2，
∴an=n2+1．
当n≥4时，猜想2n＞n2-n+2，
证明如下：当n=4时，显然2k＞k2-4+2
假设当n=k≥4时，猜想成立，即2k＞k2-k+2，
则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（k2-k+2），
∵2（k2-k+2）-[（k+1）20-（k+1）+2]
=（k-1）（k-2）＞0
∴2k+1＞2（k2-k+2）＞（k+1）2-（k+1）+2，
∴当n≥4时，猜想2n＞n2-n+2成立，
∴当n≥4时，an＞n2+1．
证明不等式1+
正确答案
证法一：（1）当n=1时，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
（2）假设n=k（k≥1）时，不等式成立，即1+
则
∴当n=k+1时，不等式也成立．
综合（1）、（2）得：当n∈N*时，都有1+
证法二：设f（n）=2
那么对任意k∈N* 都有：
∴f（k+1）＞f（k）
因此，对任意n∈N* 都有f（n）＞f（n-1）＞…＞f（1）=1＞0，
∴1+
已知f（n）=1+
正确答案
因为假设n=k时，f（2k）=1+
当n=k+1时，f（2k+1）=1+
∴f（2k+1）-f（2k）=
故答案为：
在数列{an}和{bn}中，a1=1，b1=2，且an，bn，an+1成等差数列，bn，an+1，bn+1成等比数列（n∈N*），
（1）求a2，a3，a4和b2，b3，b4；
（2）猜想{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；
（3）求证：
正确答案
解：（1）
（2）猜想：
用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，结论显然成立；
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时，
所以当n=k+1时，结论也成立；
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，
（3）欲证
即证
下面用数学归纳法证明：
（ⅰ）当n=1时，左=
（ⅱ）假设n=k时结论成立，即
当n=k+1时，
而
所以
即
则n=k+1时不等式也成立；
综合（ⅰ）（ⅱ）对任意n∈N*，都有
亦即
已知二次函数y=x2，现取x轴上的点，分别为A1(1，0)，A2(2，0)，A3(3，0)，…，An(n，0)，…，过这些点分别作x轴垂线，与抛物线分别交于A′1，A′2，A′3，…，A′n…，记由线段A′nAn，AnAn+1，An+1A′n+1及抛物线弧A′n+1A′n所围成的曲边梯形的面积为an，
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)作直线y=
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下，作直线y=x，与A′nAn(n=1，2，3，…)交于Cn，记Rt△Cn+1An+1An面积与曲边梯形A′nBnBn+1A′n+1面积之比为Pn，求证：P1+
正确答案
解：(Ⅰ)
(Ⅱ)依题意，
∴
∴
∴
(Ⅲ)记直角三角形Cn+1An+1An面积为dn，
则
∴
∴
原式即证：
用数学归纳法证明：
①当n=1时，左边=1，右边=lna，左边＞右边，命题成立；
②假设n=k（k≥1，k∈N*）时，命题成立，
即
当n=k+1时，
下证：
构造函数
所以当
∵
∴
故命题对n=k+1时也成立，
由①②得，
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