用数学归纳法证明不等式
共357题

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用数学归纳法证明不等式
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题型：简答题

简答题

已知a＞0，数列{an}满足a1=a，an+1=a+，n=1，2，…。

（1）已知数列{an}极限存在且大于零，求A=（将A用a表示）；

（2）设bn=an-A，n=1，2，…，证明：；

（3）若|bn|≤对n=1，2，…都成立，求a的取值范围。

正确答案

解：（1）由存在，且，对两边取极限得

，解得

又

∴。

（2）由得

∴

即对n=1，2，3，…都成立。

（3）令，得

∴

∴，解得

现证明当时，对n=1，2，3，…都成立

（i）当n=1时结论成立（已验证）

（ii）假设当n=k（k≥1）时结论成立，即

那么

故只须证明，即证对成立

由于

而当时，

∴

∴，即

故当时，

即n=k+1时结论成立

根据（i）和（ii）可知结论对一切正整数都成立

故对n=1，2，3，…都成立的a的取值范围为。

题型：简答题

简答题

已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a0=1，an+1=an（4-an），n∈N，

（1）证明an＜an+1＜2，n∈N；

（2）求数列{an}的通项公式an。

正确答案

解：（1）用数学归纳法证明：

1°当n=1时，，

∴，命题正确；

2°假设n=k时有，

则n=k+1时，

而，

∴，

又，

∴n=k+1时命题正确；

由1°、2°知，对一切n∈N时有。

（2）下面来求数列的通项：，

所以，

令，

则，

又bn=-1，

所以，即。

题型：简答题

简答题

设数列{an}满足an+1=a22-nan+1，n∈N*。

（1）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；

（2）当a1≥2时，证明n∈N*，有an≥n+1。

正确答案

解：（1）由a1=2，得a2=a21-a1+1=3，

由a2=3，得a3=a22-2a2+1=4，

由a3=4，得a4=a23-3a3+1=5

由此猜想an的一个通项公式为：an=n+1（n∈N*）。

（2）证明：①当n=1时，a1≥2，不等式成立

②假设当n=k（k∈N*且k≥1）时不等式成立，即ak≥k+1，

那么当n=k+1时，

ak+1=ak（ak-k）+1≥（k+1）（k+1-k）+1=k+2，

也就是说，当n=k+1时，ak+1≥（k+1）+1

根据①和②，对于所有n∈N*，都有an≥n+1。

题型：简答题

简答题

已知数列{an}的前n项和Sn=-an-+2（n∈N*）。

（1）令bn=2nan，求证：数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。

（2）令，Tn=c1+c2+…+cn，试比较Tn与的大小，并予以证明。

正确答案

解：（1）在中，令n=1，可得，

，即

当时，，

∴

即

∵

∴

即当时，

又

∴数列是首项和公差均为1的等差数列

于是

∴。

（2）由（1）得，

所以 ①

②

由①-②得

∴

于是确定的大小关系等价于比较的大小

由

可猜想当时，证明如下：

（i）当n=3时，成立。

（ii）假设时

所以当时猜想也成立

综合（i）（ii）可知，对一切的正整数，都有

∴＞0

题型：简答题

简答题

数列{an}满足：an+1=3an-3an2，n=1，2，3，…。

（Ⅰ）若数列{an}为常数列，求a1的值；

（Ⅱ）若a1=，求证：；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求证：数列{a2n}单调递减。

正确答案

（Ⅰ）解：因为数列为常数列，

所以，，

，

由n的任意性知，或。

（Ⅱ）证明：用数学归纳法证明，

①当n=1时，，符合上式；

②假设当n=k（k≥1）时，，

因为，所以，即，

从而，即，

因为，

所以，当n=k+1时，成立，

由①，②知，。

（Ⅲ）证明：因为

（n≥2），

所以只要证明，

由（Ⅱ）知，，

所以只要证明，

即证明，

令，

，

所以函数f(x)在R上单调递增；

因为，

所以，，即成立，

故，所以数列单调递减。

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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