热门试卷

解：（1）将条件变为：

因此一个等比数列，其首项为，公比

从而

据此得 ①；

（2）据①得

为证a1·a2·…an＜2·n！

只要证n∈N*时有 ②

显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n∈N*，有  ③

用数学归纳法证明③式：

（i）n=1时，③式显然成立，

（ii）设n=k时，③式成立

即

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，③式也成立

故对一切n∈N*，③式都成立。

利用③得

故②式成立，从而结论成立。

(Ⅰ)证明：∵数列{an}中，，

当n≥2时，3an+1=4an-an-1(n∈N*)，

∴当n≥2时，，

即，

所以，是以为首项，以为公比的等比数列。

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，

故

，

累加，得，

所以，。

 (Ⅲ)解：若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，

即在n∈N*时恒成立，

故需求在n∈N*上的最小值，

先证n∈N*时有，

显然，左边每个因式都是正数，先证明对每个n∈N*，有

，

用数学归纳法证明上式，

(ⅰ)n=1时，上式显然成立；

(ⅱ)假设n=k时，结论成立，

即，

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，结论也成立；

故对一切n∈N*，

成立，

所以，

，

∵，

易知，

故，

而在n∈N*时恒成立且λ∈N*，

所以，λ的最小值为2。

解：（1）∵f′（x）=，令h（x）=x2﹣2x+m，△=（﹣2）2﹣4m，

当△≤0，即m≥1时，f′（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；

当△＞0，即m＜1时，f′（x）的符号不确定（或大于0，或小于0），

f（x）在定义域内不单调，

∴当f（x）单调递增时，m≥1；当m＜1时，f（x）在定义域内不单调．

∴实数m的取值范围为[1，+∞）；

（2）∵m≥1，

∴当m取得最小值时m=1，

∴a1=3+m=4，

又an+1=f′（）﹣nan+1，n∈N*．

∴an+1=an2﹣nan+1

①用数学归纳法证明：

（I）当n=1时，a1=4＞3=1+2，不等式成立；

（II）假设当n=k时，不等式成立，即ak＞k+2，

那么，ak+1=ak（ak﹣k）+1＞（k+2）（k+2﹣k）+1≥k+3，

也就是说，当n=k+1时，ak+1＞（k+1）+2，

根据（I）和（II），对于所有n≥1，有an≥n+2．

②由an+1=an（an﹣n）+1及①，对k≥2，有

ak=ak﹣1（ak﹣1﹣k+1）+1≥ak﹣1（k﹣1+2﹣k+1）+1=2ak﹣1+1

∵1+ak≥2（ak﹣1+1），

由等比数列的通项公式可得：ak≥2k﹣1（a1+1）﹣1，

于是＜（k≥2），

∴++…+＜＜==．

(Ⅰ)证明：∵数列{an}中，，

当n≥2时，3an+1=4an-an-1(n∈N*)，

∴当n≥2时，，

即，

所以，是以为首项，以为公比的等比数列。

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，，

故

，

累加，得，

所以，。

 (Ⅲ)解：若对任意n∈N*有λa1a2a3…an≥1(λ∈N*)均成立，

即在n∈N*时恒成立，

故需求在n∈N*上的最小值，

先证n∈N*时有，

显然，左边每个因式都是正数，先证明对每个n∈N*，有

，

用数学归纳法证明上式，

(ⅰ)n=1时，上式显然成立；

(ⅱ)假设n=k时，结论成立，

即，

则当n=k+1时，

即当n=k+1时，结论也成立；

故对一切n∈N*，

成立，

所以，

，

∵，

易知，

故，

而在n∈N*时恒成立且λ∈N*，

所以，λ的最小值为2。