热门试卷

解：（1）用数学归纳法证明：

（i）当时，原不等式成立；

当时，左边，右边，

因为，

所以左边≥右边，原不等式成立；

（ii）假设当时，不等式成立，即，

则当时，

∵，

∴，

于是在不等式两边同乘以得，

所以

即当时，不等式也成立

综合（i）（ii）知，对一切正整数，不等式都成立。

（2）当时，由（1）得

于是，。

（3）解：由（2），当时，

，

∴

即

即当时，不存在满足该等式的正整数n

故只需要讨论的情形：

当时，，等式不成立；

当时，，等式成立；

当时，，等式成立；

当时，为偶数，而为奇数，

故，等式不成立；

当时，同的情形可分析出，等式不成立

综上，所求的n只有。

解：（1）由，

又∵的公差d大于0，

∴，

从而，，

∴。

又已知，令n=1，得，∴，

由，当n≥2时，，

两式相减，得，（n≥2），

∴。

（2）∵，

∴，，

以下比较与的大小：

当n=1时，，；

当n=2时，，；

当n=3时，，；

当n=4时，，；

猜想：n≥4时，，

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证；

②假设n=k（k∈N*，k≥4）时，，即，

那么，n=k+1时，

，

∴n=k+1时，也成立，

由①②可知，n∈N*，n≥4时，；

综上所述，当n=1，2，3时，；当n≥4时，。

（Ⅰ）证明：由，得

，      ①

，   ②

∴，即，且，

∴数列是首项为，公比为的等比数列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，，

∴，

由得，

易知是关于n的减函数，

∴，解得：。

（Ⅲ）解：由，得，

∴，

∴，

下面用数学归纳法证明不等式：

若为正数，则（*）

1o当n=2时，∵，

∴；

2o假设当n=k(k≥2)时，不等式成立，即若x1，x2，……，xk为正数，

则，

那么，

这就是说当n=k+1时不等式成立。

根据不等式（*）得：

，

∴。

（1）当n=1时，nn+1=1，（n+1）n=2，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=2时，nn+1=8，（n+1）n=9，此时，nn+1＜（n+1）n，

当n=3时，nn+1=81，（n+1）n=64，此时，nn+1＞（n+1）n，

当n=4时，nn+1=1024，（n+1）n=625，此时，nn+1＞（n+1）n，

（2）根据上述结论，我们猜想：当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．

①当n=3时，nn+1=34=81＞（n+1）n=43=64

即nn+1＞（n+1）n成立．

②假设当n=k时，kk+1＞（k+1）k成立，即：＞1

则当n=k+1时，=(k+1)•()k+1＞(k+1)•()k+1=＞1

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1成立，即当n=k+1时也成立，

∴当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）恒成立．