热门试卷

见解析

①当n=1时,左边==,右边==,

左边=右边,等式成立;

②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,等式成立,

即++…+=,

当n=k+1时,左边

=++…+

+

=+

=

=

=,

所以当n=k+1时,等式成立.

由①②可得对任意n∈N*,等式成立.

证明：（Ⅰ）当x≥0时，f（x）=1+≥1．

因为a1=1，所以an≥1（n∈N*）．

下面用数学归纳法证明不等式bn≤．

（1）当n=1时，b1=-1，不等式成立，

（2）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤．

那么bk+1=|ak+1-|=

bk≤．

所以，当n=k+1时，不等式也成立．

根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn≤．

所以Sn=b1+b2+…+bn≤（-1）++…+=（-1）•＜（-1）•=．

故对任意n∈N*，Sn＜．

见解析

①当i＝1时，Si(2i＋1)＝S3＝－1·(2＋1)＝－3，

故原式成立．

②假设当i＝m时，等式成立，即Sm(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

则当i＝m＋1时，

S(m＋1)[2(m＋1)＋1]＝S(m＋1)(2m＋3)＝Sm(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)2－(2m＋2)2＝－(2m2＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

综合①②得：Si(2i＋1)＝－i(2i＋1)．

（1）见解析（2）见解析

(1)f(x)＝x－xlnx，f′(x)＝－lnx，当x∈(0，1)时，f′(x)＝－lnx＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上是增函数．

(2)(用数学归纳法)①当n＝1时，0＜a1＜1，a1lna1＜0，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＞a1.

由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且f(1)＝1，得f(x)在区间(0，1)是增函数，a2＝f(a1)＝a1－a1lna1＜f(1)＝1，即a1＜a2＜1成立．

②假设当n＝k(k∈N*)时，ak＜ak＋1＜1成立，

即0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

那么当n＝k＋1时，由f(x)在区间(0，1]上是增函数，得0＜a1≤ak≤ak＋1＜1，

得f(ak)＜f(ak＋1)＜f(1)，而an＋1＝f(an)，则ak＋1＝f(ak)，ak＋2＝f(ak＋1)，即ak＋1＜ak＋2＜1，也就是说当n＝k＋1时，an＜an＋1＜1也成立．

由①②可得对任意的正整数n，an＜an＋1＜1恒成立．