热门试卷

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

当x=0时，（1+x）m≥1+mx；即1≥1成立，

x≠0时，证：用数学归纳法证明：

（ⅰ）当m=1时，原不等式成立；

当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，

因为x2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；

（ⅱ）假设当m=k时，不等式成立，即（1+x）k≥1+kx，

则当m=k+1时，∵x＞-1，

∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）k≥1+kx两边同乘以1+x得

（1+x）k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2≥1+（k+1）x，

所以（1+x）k+1≥1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数m，不等式都成立．

（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-＞0，

于是(1-)n≤(1-)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜()m，m=1，2，n．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n≥6时，(1-)n+(1-)n++(1-)n＜+()^++()n=1-＜1，∴()n+()n++()n＜1．

即3n+4n+…+（n+2）n＜（n+3）n．即当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．

故只需要讨论n=1，2，3，4，5的情形：

当n=1时，3≠4，等式不成立；

当n=2时，32+42=52，等式成立；

当n=3时，33+43+53=63，等式成立；

当n=4时，34+44+54+64为偶数，而74为奇数，故34+44+54+64≠74，等式不成立；

当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．

综上，所求的n只有n=2，3．

解法2：（Ⅰ）证：当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：

当x＞-1，且x≠0时，m≥2，（1+x）m＞1+mx． ①

（ⅰ）当m=2时，左边=1+2x+x2，右边=1+2x，因为x≠0，所以x2＞0，即左边＞右边，不等式①成立；

（ⅱ）假设当m=k（k≥2）时，不等式①成立，即（1+x）k＞1+kx，则当m=k+1时，

因为x＞-1，所以1+x＞0．又因为x≠0，k≥2，所以kx2＞0．

于是在不等式（1+x）k＞1+kx两边同乘以1+x得（1+x）k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，

所以（1+x）k+1＞1+（k+1）x．即当m=k+1时，不等式①也成立．

综上所述，所证不等式成立．

（Ⅱ）证：当n≥6，m≤n时，∵(1-)n＜，

∴[(1-

1

n+3

)m]n＜()m，

而由（Ⅰ），(1-)m≥1-＞0，

∴(1-)n≤[(1-

1

n+3

)m]n＜()m．

（Ⅲ）假设存在正整数n0≥6使等式3n0+4n0++(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，

即有()n0+()n0++()n0=1． ②

又由（Ⅱ）可得()n0+()n0++()n0

=(1-)n0+(1-)n0++(1-)n0＜()n0+()n0-1++=1-＜1，与②式矛盾．

故当n≥6时，不存在满足该等式的正整数n．

下同解法1．