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由猜想

本小题要先通过给n赋值1,2,3,4,5,根据求出的结果，再归纳规律，猜出sn的表达式.

证：首先，xn+1-xn=-xn=，

由于x1＞0，由数列{xn}的定义可知xn＞0，（n=1，2，…）

所以，xn+1-xn与1-xn2的符号相同．

①假定x1＜1，我们用数学归纳法证明1-xn2＞0（n∈N）

显然，n=1时，1-x12＞0

设n=k时1-xk2＞0，那么当n=k+1时

1-=1-[]2=＞0，

因此，对一切自然数n都有1-xn2＞0，

从而对一切自然数n都有xn＜xn+1②若x1＞1，

当n=1时，1-x12＜0；

设n=k时1-xk2＜0，那么当n=k+1时

1-=1-[

xk(

x2k

+3)

3

x2k

+1

]2=＜0，

因此，对一切自然数n都有1-xn2＜0，

从而对一切自然数n都有xn＞xn+1

,推测,证明过程详见解析.

试题分析：计算的值可以推出，利用数学归纳法可以证明，首先验证n=1时，结论成立，接下来假设n=k()时结论成立，即有，最后只需证明n=k+1时，结论也成立，利用即可得证.

，

∴推测

①n=1时，左边=，右边= ，左边=右边，所以等式成立        6分

②假设n=k时等式成立，即有，

则当n=k+1时，

所以当n=k+1时，等式也成立        13分

由①，②可知，对一切等式都成立        14分.

（1）0，17（2）见解析

(1)f(－1)＝0，f(2)＝17

(2)先用数学归纳法证明，对一切正整数n，f(n)是整数．

①当n＝1时，f(1)＝1，结论成立．

②假设当n＝k(k≥1，k∈N)时，结论成立，即f(k)＝k5＋k4＋k3－k是整数，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝(k＋1)5＋(k＋1)4＋(k＋1)3－(k＋1)

＝＋

＋－(k＋1)＝f(k)＋k4＋4k3＋6k2＋4k＋1.

根据假设f(k)是整数，而k4＋4k3＋6k2＋4k＋1显然是整数．

∴f(k＋1)是整数，从而当n＝k＋1时，结论也成立．

由①、②可知对一切正整数n，f(n)是整数．

(Ⅰ)当n＝0时，f(0)＝0是整数

(Ⅱ)当n为负整数时，令n＝－m，则m是正整数，由(Ⅰ)知f(m)是整数，

所以f(n)＝f(－m)＝(－m)5＋(－m)4＋(－m)3－(－m)

＝－m5＋m4－m3＋m＝－f(m)＋m4是整数．

综上，对一切整数n，f(n)一定是整数．