热门试卷

n∈N＋时，An<Bn成立

当n＝1时：A1＝2，B1＝3，有A1<B1；

当n＝2时：A2＝8，B2＝9，有A2<B2；

当n＝3时：A3＝18，B3＝27，有A3<B3.

由上可归纳出当n∈N＋时，都有An<Bn.

下面用数学归纳法证明(下面只证n≥2时成立)：

(1)当n＝2时，由上可知不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋，且k≥1)时不等式成立，即2k2<3k，

则3k＋1＝3×3k＝3k＋3k＋3k>2k2＋2k2＋2k2.

由于2k2≥4k (k≥2)，2k2>2，

所以3k＋1>2k2＋2k2＋2k2>2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，

这表明，当n＝k＋1时，不等式也成立．

综合(1)、(2)可知，n∈N＋，n≥2时，都有An<Bn成立．

综上可知n∈N＋时，An<Bn成立．

（1）

（2）猜想：  下面用数学归纳法证明：

见解析。

本试题主要是考查了数列的归纳猜想的数学思想的运用，以及运用数学归纳法来证明与自然数相关的命题的运用。注意n=k和n=k+1式子的变换，同时要用到假设，这是证明中最关键的 两步。

解：（1）

（2）猜想：  下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，，已知，显然成立

②假设当时 ，猜想成立，即, 则当时，

即对时，猜想也成立,由①②可得成立

S＝，S＝，S＝，S＝。证明见解析

根据已知条件先求解前几项，然后归纳猜想得到结论，并运用数学归纳法分为两步骤来进行，注意要用到假设以及n=k,n=k+1之间的变化的综合运用。

解：S＝，S＝，S＝，S＝，猜测S＝(n∈N)

①当n＝1时，等式显然成立；

②假设当n＝k时等式成立，即：S＝，

当n＝k＋1时，S＝S＋＝＋

=＝＝,

即n＝k＋1时等式也成立.综上①②，等式对任何n∈N都成立.