热门试卷

－1＜q＜0或0＜q＜

∵a1·a2=－q,a1=2,a2≠0,

∴q≠0,a2=－,

∵an·an+1=－qn,an+1·an+2=－qn+1

两式相除，得,即an+2=q·an

于是，a1=2,a3=2·q,a5=2·qn…猜想：a2n+1=－qn(n=1,2,3,…)

综合①②，猜想通项公式为an=

下证：(1)当n=1,2时猜想成立

(2)设n=2k－1时，a2k－1=2·qk－1则n=2k+1时，由于a2k+1=q·a2k－1

∴a2k+1=2·qk即n=2k－1成立.

可推知n=2k+1也成立.

设n=2k时，a2k=－qk,则n=2k+2时，由于a2k+2=q·a2k,

所以a2k+2=－qk+1,这说明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立.

综上所述，对一切自然数n,猜想都成立.

这样所求通项公式为an=

S2n=(a1+a3…+a2n－1)+(a2+a4+…+a2n)

=2(1+q+q2+…+qn-1)－ (q+q2+…+qn)

由于|q|＜1,∴=

依题意知＜3,并注意1－q＞0,|q|＜1解得－1＜q＜0或0＜q＜

见解析。

本试题主要是考查了数列的通项公式和数列求和的综合运用。

（1）因为数列的各项均为正数，，，那么利用等差数列的定义可知

，从而得到数列的通项公式。

（（2）要证明对一切恒成立。

与自然数相关的不等式的成立，只要运用数学归纳法证明即可。

（1）由得，所以

（2）①当n=1时，1=1成立；当n=2时，左边<右边；

②假设当n=k时，成立，

那么当n=k+1时，

不等式成立

由①②可得对一切恒成立。

设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

证明见解析。

先令n=1,2,3建立关于a,b,c的三个方程，解出a,b,c的值.然后再证明时，也成立.由于是与n有关的证明问题，可以考虑用数学归纳法进行证明.

设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有

于是，对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·32+…+n(n+1)2=

记Sn=1·22+2·32+…+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)

那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)

=［3(k+1)2+11(k+1)+10］也就是说，等式对n=k+1也成立.

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切正自然数n均成立.

当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立

综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立