热门试卷

由，

当n=2时，由①得 ，

当n=3时，由①得  ，

猜想  n="1,2,3…" 证明见解析。

本试题主要是考查了数列的前n项和的表达式的求解和证明的综合运用。

（1）根据已知条件，对n令值，得到前几项的和，然后归纳猜想。

（2）运用数学归纳法加以证明，分为两步骤，注意要用到假设。

证明：             

当n=1时，  

当n≥2时，，

代入（*）式得①            ……（3分）

当n=2时，由①得    ……（4分）

当n=3时，由①得    ……（5分）

可以看到上面表示的三个结果的分数中，分子与项数一致，分母是项数加1，

由此猜想  n=1,2,3…             ……（6分）

下面用数学归纳法证明这个猜想：

（1）当n=1时已知猜想成立                        ……（7分）

（2）假设n=k时猜想成立，即

则当n=k+1时，由①得

这就是说，当n=k+1时，猜想也成立             ……（10分）

根据（1）和（2），可知对所有正整数n都成立  ……（12分）

证明见解析

由，得，由，得．

由，得．

由，得．

猜想来．下面用数学归纳法证明猜想正确：

（1）时，左边，右边，猜想成立．

（2）假设当时，猜想成立，就是，此时，

当时，由，得，

．

这就是说，当时，等式也成立，

由（1）（2）可知，对均成立．

(1)  (2)  (3) 要证原不等式，即证因为

所以

=所以

试题分析：（1）由，所以     2分

（2），由，得    3分

                4分

又恒成立，则由恒成立得

，                6分

同理由恒成立也可得:       7分

综上，，所以       8分

（3）

要证原不等式，即证

因为

所以

=

所以                12分

本小问也可用数学归纳法求证。证明如下：

由

当时，左边=1，右边=，左边>右边，所以，不等式成立

假设当时，不等式成立，即

当时，

左边=

由

所以

即当时，不等式也成立。综上得

点评：函数求解析式采用的是待定系数法，由已知条件找到的关系式，期间将不等式恒成立问题转化为二次函数性质的考察，第三问在证明不等式时用到了放缩法，这种方法对学生有一定的难度

解：（1）由得可求得，┈5分

由此猜想的通项公式。　┈┈┈7分

（2）证明：①当时，，等式成立；　　　┈┈┈9分

　②假设当时，等式成立，即，　　┈┈┈11分

当时，等式也成立。　　　　　　　　　　┈┈┈13分

由①②可得成立。　　　　　　　┈┈┈15分 

略