- 单摆周期公式
- 共1307题
如图所示，在O点悬有一细绳，绳上串着一个小球B，并能顺着绳子滑下，在O点正下方有一半径为R的光滑圆弧轨道，圆心位置恰好在O点，在弧形轨道上接近处有另一个小球A，令A、B两球同时开始无初速释放，假如A球第一次到达平衡位置时正好能够和B球碰上，则B球与绳之间的摩擦力与B球重力大小之比是多少？（计算时取
正确答案
解：圆弧轨道运动的小球A接近
A球作简谐运动，由周期公式得A到
B球作匀变速运动从O到的时间为
解得
对于小球B，由牛顿第二定律得：
得：
如图所示，质量为m的小球用长度为L的轻质细绳悬挂于O点，现将它拉至A处，使细绳与竖直方向的夹角为θ（θ＜5°），然后无初速释放，不计空气阻力作用，它经过一段时间第一次到达最低点B．
求：（1）所经历的时间t
（2）该过程中重力产生的冲量大小IG
（3）该过程中小球的动量变化△P
（4）该过程中绳的拉力产生的冲量大小IF．
正确答案
（1）由单摆的周期公式可得：
T=2π
由A第一次到B，小球所用时间是四分之一周期，即：t=
（2）由于重力是恒力，由冲量定义可知重力的冲量为：IG=mgt=
（3）动量的变化等于末动量减去初动量：△P=PB-PA------------------------------④
又PA=0--------------------------------⑤
PB=mvB---------------------------------⑥
从A到B的过程中，由机械能守恒定律得：
由④⑤⑥⑦，可解得：△P=m
（1）从A到B的过程中，小球在重力和绳的拉力的冲量作用下，动量的改变量为△P，且方向水平，又因重力的冲量方向向下，所以由矢量的合成法则得：
IF2=△P2+IG2----------------------------⑨
由③⑧⑨式得：IF=m
答：（1）所经历的时间t为
（2）该过程中重力产生的冲量大小IG为
（3）该过程中小球的动量变化△P为m
（4）该过程中绳的拉力产生的冲量大小IF为m
某同学用一个光滑的半圆形轨道和若干个大小相等、可视为质点的小球做了三个有趣的实验，轨道固定在竖直平面内，且两端同高。第一次，他将一个小球从离轨道最低点的竖直高度处由静止沿轨道下滑（远小于轨道半径），用秒表测得小球在轨道底部做往复运动的周期为；第二次，他将小球放在轨道的最低点，使另一个小球从轨道最高点由静止沿轨道滑下并与底部的小球碰撞，结果小球返回到原来高度的1/4，小球也上滑到同样的高度；第三次，用三个质量之比为m1:m2:m3＝5:3:2的小球做实验，如图所示，先将球2和3放在轨道的最低点，球1从某一高度由静止沿轨道下滑，它们碰后上升的最大高度分别为1、2和3，不考虑之后的碰撞。设实验中小球间的碰撞均无能量损失。重力加速度为。求：
（1）半圆形轨道的半径；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA:mB；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1:h2:h3。
正确答案
解：（1）第一次实验中，小球的运动可以看做摆长为的单摆，根据单摆周期公式有：
所以
（2）第二次实验中，球从高为处释放，设球与球碰撞前瞬间的速度大小为，碰撞后瞬间它们速度的大小分别为和。由题意知，球与碰后达到的高度均为
所以
又根据动量守恒定律有
所以
（3）根据题意设球1、2、3的质量分别为5、3和2。设球1与球2碰撞前后的速度分别为1、v1'，球2与球3碰撞前后的速度分别为、v2'，球3与球2碰撞后的速度为v3。球1与球2碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
球2与球3碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
在三个小球的上升过程中，根据机械能守恒定律有
解得
我国探月的“嫦娥工程”已启动，在不久的将来宇航员将登上月球。假如宇航员的质量为m，他在月球上测得摆长为的单摆做小振幅振动的周期为T，将月球视为密度均匀、半径为r的球体，引力恒量为G，则宇航员在月球上的“重力”为____________；月球的密度为____________。
正确答案
关于单摆的运动，下列说法中正确的是（ ）
正确答案
A、单摆在运动过程中的回复力是重力沿圆弧方向上切向分力．故A错误．
B、对于单摆，在平衡位置，回复力为0，合力不为0．拉力和重力的合力提供圆周运动的向心力．故B错误，C正确．
D、摆球摆动过程中，经过最大位移处，受重力和拉力，合力不为0．故D错误．
故选C．
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