热门试卷

(1) 连接OP，∵AC⊥l，BD⊥l，∴AC∥BD.

又OA＝OB，PC＝PD，∴OP∥BP，从而OP⊥l.

∵P在⊙O上，∴l是⊙O的切线．(6分)

(2) 连接AP，∵l是⊙O的切线，

∴∠BPD＝∠BAP.

又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，

∴∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.(10分)

略

解：（1）圆心坐标为------2分

设圆心的极坐标为

则----4分

所以圆心的极坐标为------ 6分

（2）直线的极坐标方程为

直线的普通方程为----8分

圆上的点到直线的距离……10分

即-----11分

圆上的点到直线的最大距离为-----13分

---- 14分

略

（Ⅰ）证明见解析

（Ⅱ）90°

本题主要考查平面几何中与圆有关的定理及性质的应用、三角形相似及性质的应用.

证明：（Ⅰ）由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD．

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD．

故△ABE∽△ADC．

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，即AB·AC＝AD·AE．

又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE．

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°．

【点评】在圆的有关问题中经常要用到弦切角定理、圆周角定理、相交弦定理等结论，解题时要注意根据已知条件进行灵活的选择，同时三角形相似是证明一些与比例有关问题的的最好的方法.

解：在△ABC中，由余弦定理得：

解得BD=16或BD=-6（舍） ————————5分

在△BCD中，由正弦定理得：

解得 BC= ——————————————10分

略

（1）见解析  （2）1∶4

解：(1)证明：连接EF，FC，在正方形ABCD中，AD＝AB＝BC，∠A＝∠B＝90°．

∵AE＝AD，F为AB的中点，

∴＝．

∴△EAF∽△FBC，

∴∠AEF＝∠BFC，∠EFA＝∠BCF．

又∠A＝∠B＝90°，

∴∠EFC＝90°，＝．

又∵∠EFC＝∠B＝90°，∴△EFC∽△FBC．

∴∠HEF＝∠BFC，∠ECF＝∠BCF．

∴∠AEF＝∠HEF，∠AFE＝∠HFE，又EF＝EF，

∴△EAF≌△EHF，∴FH＝FA．

(2)由(1)知△EFC是直角三角形，FH是斜边EC上的高，

由射影定理可得EF2＝EH·EC，FC2＝CH·CE，于是EH∶HC＝EF2∶FC2．

由(1)得＝，于是EH∶HC＝EF2∶FC2＝1∶4．

（1）见解析    （2）见解析

证明：设AB＝AC＝3a，

则AE＝BD＝a，CF＝a．

(1)＝＝，＝＝．

又∠C为公共角，故△BAC∽△EFC，

由∠BAC＝90°．∴∠EFC＝90°，∴EF⊥BC．

(2)由(1)得EF＝a，

故＝＝，＝＝，

∴＝．∵∠DAE＝∠BFE＝90°，

∴△ADE∽△FBE，∴∠ADE＝∠EBC．

（1）见解析（2）见解析

(1)由弦切角定理知∠DBE＝∠DAB.

又∠DBC＝∠DAC，∠DAB＝∠DAC，

所以∠DBE＝∠DBC，即BD平分∠CBE.

(2)由(1)可知BE＝BH，

所以AH·BH＝AH·BE，

因为∠DAB＝∠DAC，∠ACB＝∠ABE，

所以△AHC∽△AEB，

所以，即AH·BE＝AE·HC，

即AH·BH＝AE·HC.

略

证：如图，设，分别是的外接圆和内切圆半径，延长交于，则，，延长交于；则，即；

过分别作的切线，在上，连，则平分，只要证，也与相切；

设，则是的中点，连，则

，，

，

所以，由于在角的平分线上，因此点是的内心，（这是由于，，而

，所以，点是的内心）．即弦与相切．

5

延长BA交切线CD于M.因为∠C＝90°，

所以AB为直径，所以半径为10.连结OC，则OC⊥CD，且OC∥BD.

因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，

即BE＝OB＝10且∠M＝30°.

所以OM＝2OC＝20，所以AM＝10.

所以BD＝(AM＋AB)＝＝15，

即DE＝BD－BE＝15－10＝5.

设正三角形ABC的边长为x，由正弦定理，得＝2，所以x＝.延长PN交圆于Q，则NA·NC＝NP·NQ.设NP＝t，则t·.所以t＝，即NP＝

（1）见解析（2）见解析

(1)连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．

(2)连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有，

即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，

所以AD·AC＝AE·AF.