热门试卷

见解析

证明　(1)连接IC，∵I为内心，

∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.

∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，

∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.

(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，

∴△ECD∽△EAC，∴＝，

∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.

:(1)略 (2)=

试题分析：解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C，  ………2分

又∵∠APD=∠CPE,

∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,                  ………4分

∴∠ADE=∠AED．                  ………5分

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA, ∴,      ………7分

∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．………9分

在Rt△ABC中，=, ∴=．………10分

点评：此类题目常涉及的图形有圆、切线和三角形。在解决此类题目时，常要找出两个相似三角形。

解：="2   " ………………………2分

…………………………………6分

又  =2

 =…………………………………8分

又,且向量不共线 ……………12分

略

（Ⅰ）见解析(Ⅱ) 2

（Ⅰ）证明：如图，连接ON，∵，则，   2分

又，则.,∴，   4分

∴，故是圆O的切线；    5分

(Ⅱ) .在△BOM中，，,延长BO交圆O于点D，连接DN，由条件知△BOM∽△BND,于是,，即MN=BN-BM=6-4=2.   10分

【命题意图】本题考察切线的判定定理、三角形相似等基础知识，意在考察学生推理证明和逻辑思维能力.

见解析

因为AC⊥BD，故△AED、△BEC都是直角三角形．

又EF⊥AD，EG⊥BC，

由射影定理可知AF·DF＝EF2，

BG·CG＝EG2.

又FG2＝(FE＋EG)2＝FE2＋EG2＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG，∠ABC＝45°，如图，过点H、A分别作直线HM、AN与BC垂直，易知，AH＝FE，BH＝EG，故AH·BH＝2EF·EG.所以

FG2＝AF·DF＋BG·CG＋2FE·EG＝AF·DF＋BG·CG＋AH·BH.

见解析

证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴CD2＝AD·BD，故CD4＝AD2·BD2.

又在Rt△ADC中，DE⊥AC，

Rt△BDC中，DF⊥BC，

∴AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC.

∴CD4＝AE·BF·AC·BC.

∵AC·BC＝AB·CD，

∴CD4＝AE·BF·AB·CD，即AE·BF·AB＝CD3.

证明：（Ⅰ）连接OD，可得

OD∥AE----------------------------------------3分

又

DE是⊙的切线.----------------- ------------5分

（Ⅱ）过D作于H，则有

.------------------6分

设，则

--------------------------8分

由∽可得

又∽，--------------10分

略

解：（1），～，

又                           （5分）

（2）～，

略

假设存在实数k的值，满足题设．

①先证明△AEF∽△DCE∽△ECF.因为EF⊥EC，

所以∠AEF＝90°－∠DEC＝∠DCE.

而∠A＝∠D＝90°，故△AEF∽△DCE.

故得.又DE＝EA，所以.

又∠CEF＝∠EAF＝90°，所以△AEF∽△ECF.

②再证明可以取到实数k的值，使△AEF∽△BCF，

由于∠AFE＋∠BFC≠90°，故不可能有∠AFE＝∠BFC，

因此要使△AEF∽△BCF，应有∠AFE＝∠BFC，

此时，有，又AE＝BC，故得AF＝BF＝AB.

由△AEF∽△DCE，可知，

因此，AB2，所以，求得k＝.

可以验证，当k＝时，这四个三角形都是有一个锐角等于60°的直角三角形，故它们都相似．

见解析

证明：∵AM∥EN，

∴AD∶AB＝NM∶MB，NM∶MC＝AE∶AC.

∵MB＝MC，∴AD∶AB＝AE∶AC.

（1）45°（2）

试题分析：（1）由AC为圆O的切线，知∠B＝∠EAC.

又DC是∠ACB的平分线，得到∠ACD＝∠DCB.进一步有∠ADF＝∠AFD；

由BE为圆O的直径，得∠DAE＝90°，得到∠ADF＝.

（2）由已知可得＝，又，

得到，在中，＝＝tan∠B＝tan30°＝.

试题解析：（1）∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC.

又知DC是∠ACB的平分线，

即∠ADF＝∠AFD，又因为BE为圆O的直径，

.     5分

∴＝，又，

∴在中，＝.      10分

（1）见解析（2）见解析

证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝DB.

∵AB＝DC，BC＝CB，∴△ABC≌△BCD.

(2)∵△ABC≌△BCD，

∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，

∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC.

∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，

∴∠EDA＝∠DBC，∠EAD＝∠DCB.

∴△ADE∽△CBD.

∴DE∶BD＝AE∶CD，

∴DE·DC＝AE·BD.