- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
在△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．已知CD=
正确答案
解析
∴∠BDC=∠CBA，∠A=∠CDB，
∴△ADC∽△CDB，
∴
∵CD=
∴DB=2，AD=1，
故选：A．
（1）证明：E是BC的中点；
（2）证明：AD•AC=AE•AF．
正确答案
证明：（Ⅰ）证明：连接BD，
因为AB为⊙O的直径，
所以BD⊥AC，又∠B=90°，
所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，
因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，
所以∠CDE=∠C，
得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点
（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，
可得△ABE∽△AAFB，
于是有
同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF
解析
证明：（Ⅰ）证明：连接BD，
因为AB为⊙O的直径，
所以BD⊥AC，又∠B=90°，
所以CB切⊙O于点B，且ED切于⊙O于点E，
因此EB=ED，∠EBD=∠EDB，∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C，
所以∠CDE=∠C，
得ED=EC，因此EB=EC，即E是BC的中点
（Ⅱ）证明：连接BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，
可得△ABE∽△AAFB，
于是有
同理可得AB2=AD•AC，所以AD•AC=AE•AF
（Ⅰ）求∠BAE 的度数；
（Ⅱ）求证：CD2=BD•EC．
正确答案
证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，
因为AE为圆O的切线，
所以∠EBA=∠EAC
因为∠E公用，
所以∠EAB=∠ECA，
因为△ADC为正三角形，
所以∠BAE=∠ECA=120°；
（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．
因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，
所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．
所以
因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，
所以CD2=BD•EC．
解析
证明：（Ⅰ）在△EAB与△ECA中，
因为AE为圆O的切线，
所以∠EBA=∠EAC
因为∠E公用，
所以∠EAB=∠ECA，
因为△ADC为正三角形，
所以∠BAE=∠ECA=120°；
（Ⅱ）因为AE为圆O的切线，所以∠ABD=∠CAE．
因为△ACD为等边三角形，所以∠ADC=∠ACD，
所以∠ADB=∠ECA，所以△ABD∽△EAC．
所以
因为△ACD为等边三角形，所以AD=AC=CD，
所以CD2=BD•EC．
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
（I）求证：CD2-DE2=AE×EC；
（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．
正确答案
∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CED，
∴
∴CD2=DE×DB，
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
∴CD2-DE2=AE×EC．…（6分）
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°．∴∠CBD=
∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）
解析
∴∠CBD=∠ECD，又∠CDB=∠EDC，
∴△BCD∽△CED，
∴
∴CD2=DE×DB，
∵DE×DB=DE×（DE+BE）=DE2+DE×BE，DE×BE=AE×EC，
∴CD2-DE2=AE×EC．…（6分）
（Ⅱ）连接OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，
∴∠COD=60°．∴∠CBD=
∴∠ACD=∠CBD=30°．…（10分）
正确答案
解析
解：∠B=∠C或∠ADC=∠AEB或AD：AC=AE：AB，
又∠A公用，∴△ABE∽△ACD．
因此下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是：C．
故选：C．
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