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题型: 单选题
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单选题

如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,AB=5,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=(  )

A2

B

C

D

正确答案

D

解析

解:∵∠C=90°,AB=5,AC=4

∴BC=3

∵△ABC∽△BDC

∴CD=

故选D.

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题型:简答题
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简答题

已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过A点作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1

(1)证明:AC平分∠BAD;

(2)求BC的长.

正确答案

证明:(1)∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,(2分)

∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD,(4分)

∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA

故∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD.(6分)

解:(2)由(1)得:,∴BC=CE,(8分)

连结CE,则∠DCE=∠DAC=∠OAC,

∴△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC

.(10分)

解析

证明:(1)∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,(2分)

∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD,(4分)

∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA

故∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD.(6分)

解:(2)由(1)得:,∴BC=CE,(8分)

连结CE,则∠DCE=∠DAC=∠OAC,

∴△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC

.(10分)

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题型:填空题
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填空题

如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交与B,且AB=AC,作直线AF与圆E相切于点F,连结EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°

(1)求AF的长;

(2)求证:AD=3ED.

正确答案

解析

(1)解:延长BE交圆E于点M,连结CM,则∠BCM=90°,

∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴BC=2

又∵AB=,∴AB=,∴AC=3

根据切割线定理得AF2=AB•AC=9,即AF=3;

(2)证明:过E作EH⊥BC于H,

∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD,

∴△EDH∽△ADF,

又由题意知CH=BC=,EB=2,

∴EH=1,∴

∴AD=3ED.

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题型:填空题
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填空题

如图,P为半⊙O直径BA延长线上一点,PC切半⊙O于C,且PA:PC=2:3,则sin∠ACP的值为 ______

正确答案

解析

解:如图,连接BC,

由已知条件得,△PAC∽△PBC,于是 ==

设AC=2k,BC=3k,由∠ACB=90°得,AB=

∴sin∠ACP=sin∠ABC===

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,E为AD上一点,且满足∠BDE=2∠CED=∠BAC.求证:BD=2CD.

正确答案

证明:作DO∥AB交AC于O.

则由AB=AC易知OD=OC,且∠DOC=∠A=2∠CED,

所以O为△EDC的外心,

取F为△EDC的外接圆与AC的交点,则OF=OC=OD,∠ACE=∠ADF.

所以△ACE∽△ADF,即有AD/AC=AF/AE.

再由DO∥AB,∠ADO=∠BAE,∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB,

所以△ADO∽△ABE,即得

故AF=OD=OC=CF,从而AO=2OC.

由DO∥AB得:BD=2CD.

解析

证明:作DO∥AB交AC于O.

则由AB=AC易知OD=OC,且∠DOC=∠A=2∠CED,

所以O为△EDC的外心,

取F为△EDC的外接圆与AC的交点,则OF=OC=OD,∠ACE=∠ADF.

所以△ACE∽△ADF,即有AD/AC=AF/AE.

再由DO∥AB,∠ADO=∠BAE,∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB,

所以△ADO∽△ABE,即得

故AF=OD=OC=CF,从而AO=2OC.

由DO∥AB得:BD=2CD.

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