- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图,Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,AB=5,AC=4,若△ABC∽△BDC,则CD=( )
正确答案
解析
解:∵∠C=90°,AB=5,AC=4
∴BC=3
∵△ABC∽△BDC
∴
∴
∴CD=.
故选D.
已知AB为半圆O的直径,AB=4,C为半圆上一点,过点C作半圆的切线CD,过A点作AD⊥CD于D,交半圆于点E,DE=1
(1)证明:AC平分∠BAD;
(2)求BC的长.
正确答案
证明:(1)∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,(2分)
∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD,(4分)
∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA
故∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD.(6分)
解:(2)由(1)得:,∴BC=CE,(8分)
连结CE,则∠DCE=∠DAC=∠OAC,
∴△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC
∴,
故.(10分)
解析
证明:(1)∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,(2分)
∵CD是圆的切线,∴OC⊥CD,(4分)
∵AD⊥CD,∴AD∥OC,∴∠DAC=∠OCA
故∠DAC=∠OAC,即AC平分∠BAD.(6分)
解:(2)由(1)得:,∴BC=CE,(8分)
连结CE,则∠DCE=∠DAC=∠OAC,
∴△CDE∽△ACD,△ACD∽△ABC
∴,
故.(10分)
如图,过圆E外一点A作一条直线与圆E交与B,且AB=
AC,作直线AF与圆E相切于点F,连结EF交BC于点D,已知圆E的半径为2,∠EBC=30°
(1)求AF的长;
(2)求证:AD=3ED.
正确答案
解析
(1)解:延长BE交圆E于点M,连结CM,则∠BCM=90°,
∵BM=2BE=4,∠EBC=30°,∴BC=2,
又∵AB=,∴AB=
,∴AC=3
,
根据切割线定理得AF2=AB•AC=9,即AF=3;
(2)证明:过E作EH⊥BC于H,
∵∠EOH=∠ADF,∠EHD=∠AFD,
∴△EDH∽△ADF,
∴,
又由题意知CH=BC=
,EB=2,
∴EH=1,∴,
∴AD=3ED.
如图,P为半⊙O直径BA延长线上一点,PC切半⊙O于C,且PA:PC=2:3,则sin∠ACP的值为 ______.
正确答案
解析
解:如图,连接BC,
由已知条件得,△PAC∽△PBC,于是 =
=
,
设AC=2k,BC=3k,由∠ACB=90°得,AB=,
∴sin∠ACP=sin∠ABC==
=
.
故答案为:.
在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,E为AD上一点,且满足∠BDE=2∠CED=∠BAC.求证:BD=2CD.
正确答案
证明:作DO∥AB交AC于O.
则由AB=AC易知OD=OC,且∠DOC=∠A=2∠CED,
所以O为△EDC的外心,
取F为△EDC的外接圆与AC的交点,则OF=OC=OD,∠ACE=∠ADF.
所以△ACE∽△ADF,即有AD/AC=AF/AE.
再由DO∥AB,∠ADO=∠BAE,∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB,
所以△ADO∽△ABE,即得.
故AF=OD=OC=CF,从而AO=2OC.
由DO∥AB得:BD=2CD.
解析
证明:作DO∥AB交AC于O.
则由AB=AC易知OD=OC,且∠DOC=∠A=2∠CED,
所以O为△EDC的外心,
取F为△EDC的外接圆与AC的交点,则OF=OC=OD,∠ACE=∠ADF.
所以△ACE∽△ADF,即有AD/AC=AF/AE.
再由DO∥AB,∠ADO=∠BAE,∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB,
所以△ADO∽△ABE,即得.
故AF=OD=OC=CF,从而AO=2OC.
由DO∥AB得:BD=2CD.
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