- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM2=PA•PC；
（2）⊙O的半径为2
正确答案
（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，∵OB=ON，∴∠OBM=∠ONB，
∵PN是⊙O的切线，∴ON⊥NP．
∵BO⊥AC，
∴∠BOM=∠ONP=90°，∴∠OMB=∠MNP．
又∠BMO=∠PMO，∴∠PNM=∠PMN，∴PM═PN．
∵PN为⊙O的切线，∴PN2=PA•PC，∴PM2=PA•PC．
（2）在Rt△BMO中，
延长BO交⊙O与点D，连接DN，
则△BND∽BOM，于是
∴
∴MN=BN-BM=6-4=2．
解析
（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，∵OB=ON，∴∠OBM=∠ONB，
∵PN是⊙O的切线，∴ON⊥NP．
∵BO⊥AC，
∴∠BOM=∠ONP=90°，∴∠OMB=∠MNP．
又∠BMO=∠PMO，∴∠PNM=∠PMN，∴PM═PN．
∵PN为⊙O的切线，∴PN2=PA•PC，∴PM2=PA•PC．
（2）在Rt△BMO中，
延长BO交⊙O与点D，连接DN，
则△BND∽BOM，于是
∴
∴MN=BN-BM=6-4=2．
设P为等边△ABC外接圆的BC上的一点，求证：PA2=AB2+PB•PC．
正确答案
证明：在△ABP和△ADB中，
∠BAP=∠DAB为公用角，
又∠APB=∠ACB=∠ABD=60°
△ABP∽△ADB，
AB2=PA•AD（1）
同理可证△BPD∽△APC，
∴PB•PC=PA•PD（2）
（1）、（2）式左、右两边分别相加，则得
AB2+PB•PC=PA（AD+PD）=PA2，
∴PA2=AB2+PB•PC．
解析
证明：在△ABP和△ADB中，
∠BAP=∠DAB为公用角，
又∠APB=∠ACB=∠ABD=60°
△ABP∽△ADB，
AB2=PA•AD（1）
同理可证△BPD∽△APC，
∴PB•PC=PA•PD（2）
（1）、（2）式左、右两边分别相加，则得
AB2+PB•PC=PA（AD+PD）=PA2，
∴PA2=AB2+PB•PC．
在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD、CE分别为斜边AB上的高和中线，且∠BCD与∠ACD之比为3：1，求证CD=DE．
正确答案
证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线
∴CE=EB
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=
=
△EDC为等腰直角三角形
∴CE=DE．
解析
证明：∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°，
∴∠ACD=∠B
又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线
∴CE=EB
∠B=∠ECB，∠ACD=∠ECB
但∵∠BCD=3∠ACD，
∠ECD=2∠ACD=
=
△EDC为等腰直角三角形
∴CE=DE．
在△ABC中，
正确答案
1或2
解析
∴AB=3
在△ABC中，由余弦定理可得，
AC2=AB2+BC2-2AB•BCcosB，
把已知AC=
7=32+BC2-2×3×BC×
整理可得，BC2-3BC+2=0，
∴BC=1或2．
故答案为1或2．
正确答案
∵EA是圆O的切线，∴∠EAB=∠ACB． …（2分）
∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠EAB． …（4分）
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，
∴∠D=∠ABE． …（6分）
∴△CDA∽△ABE． …（8分）
∴
∵AB=AD，
∴
解析
∵EA是圆O的切线，∴∠EAB=∠ACB． …（2分）
∵AB=AD，∴∠ACD=∠ACB，
∴∠ACD=∠EAB． …（4分）
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，
∴∠D=∠ABE． …（6分）
∴△CDA∽△ABE． …（8分）
∴
∵AB=AD，
∴
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