- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（1）求证：FA∥BE；
（2）求证：
（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．
正确答案
解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
∵AB=AC，
∴
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
∵CP＞0，∴CP=
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
解析
解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
∵AB=AC，
∴
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
∵CP＞0，∴CP=
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
正确答案
证明：∵AB=AC，点B是AD的中点，点E是AB的中点，
∴
在△ACE与△ADC中，
∴△ACE∽△ADC，
∴
∴
解析
证明：∵AB=AC，点B是AD的中点，点E是AB的中点，
∴
在△ACE与△ADC中，
∴△ACE∽△ADC，
∴
∴
（几何证明选讲选作题）两个相似三角形的一组对应边的长分别是1cm和2cm，它们的面积的和为25cm2，则较大三角形的面积是______．
正确答案
20cm2
解析
解：设较大三角形的面积是xcm2，
根据题意得：x：（25-x）=4：1，
解得：x=20，
∴较大三角形的面积是20cm2．
故答案为：20cm2．
（1）指出图中相似的三角形，并说明理由；
（2）若EC=4，DE=2，求AD的长．
正确答案
解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．
又∠B与∠AEC都对应
又∠ADB=∠CDE．
∴△ABD∽△AEC∽△CED．
（2）∵△AEC∽△CED，∴
∴
∴AD=AE-DE=8-2=6．
解析
解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．
又∠B与∠AEC都对应
又∠ADB=∠CDE．
∴△ABD∽△AEC∽△CED．
（2）∵△AEC∽△CED，∴
∴
∴AD=AE-DE=8-2=6．
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．E为⊙O上一点，
（Ⅰ）证明：DF•EF=OF•FP；
（Ⅱ）当AB=2BP时，证明：OF=BF．
正确答案
.（I）证明：因为
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴
∴DF•EF=OF•FP；
（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．
解析
.（I）证明：因为
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴
∴DF•EF=OF•FP；
（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．
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