- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．
求证：FG∥AC．
正确答案
证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．
∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即
又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．
∴∠AEC=∠ACD．
由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．
∴∠ACD=∠CFG，
∴FG∥AC．
解析
证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．
∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即
又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．
∴∠AEC=∠ACD．
由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．
∴∠ACD=∠CFG，
∴FG∥AC．
如图，△ABC的外角平分线AD交外接圆于D，若DB=
正确答案
解析
解：∵A、B、C、D共圆，∴∠DAE=∠BCD．
又∵∠DAC=∠DBC，∠DAE=∠DAC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴CD=BD=
故答案为：
（1）如图，当点E在线段OC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（2）当点E在直径CF上时，如果OE的长为3，求公共弦CD的长；
（3）设⊙B与AB相交于G，试问△OEG能否为等腰三角形？如果能，请直接写出
正确答案
解：（1）连接BE，∵⊙O的直径AB=8，∴OC=OB
∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．
∵CE=OC-OE=4-y∴
∴y关于x的函数解析式为y=4-
（2）作BM⊥CE，垂足为M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=
设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD．
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM
当点E在线段OC上时，EM=
∴OM=EM+OE=
∴BM=
当点E在线段OF上时，EM═
∴OM=EM-OE=
∴BM=
∴CD=2CH=2BM=3
（3）△OEG能为等腰三角形，
解析
解：（1）连接BE，∵⊙O的直径AB=8，∴OC=OB
∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．
∵CE=OC-OE=4-y∴
∴y关于x的函数解析式为y=4-
（2）作BM⊥CE，垂足为M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=
设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD．
∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM
当点E在线段OC上时，EM=
∴OM=EM+OE=
∴BM=
当点E在线段OF上时，EM═
∴OM=EM-OE=
∴BM=
∴CD=2CH=2BM=3
（3）△OEG能为等腰三角形，
（I）求证：四点B、P、E、F共圆；
（II）若CD=2，
正确答案
证明：（I）连接PB．∵BC切⊙P于点B，
∴PB⊥BC．
又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，
∴Rt△CBP∽Rt△CEF，
∴∠CPB=∠CFE，
∴∠EPB+∠EFB=180°，
∴四点B，P，E，F共圆（5分）
（II）∵四点B，P，E，F共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，
∴此圆的直径就是PF．
∵BC切⊙P于点B，且
∴由切割线定理CB2=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．
又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得
在Rt△FEP中，
即由四点B，P，E，F确定圆的直径为
解析
证明：（I）连接PB．∵BC切⊙P于点B，
∴PB⊥BC．
又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，
∴Rt△CBP∽Rt△CEF，
∴∠CPB=∠CFE，
∴∠EPB+∠EFB=180°，
∴四点B，P，E，F共圆（5分）
（II）∵四点B，P，E，F共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，
∴此圆的直径就是PF．
∵BC切⊙P于点B，且
∴由切割线定理CB2=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．
又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得
在Rt△FEP中，
即由四点B，P，E，F确定圆的直径为
如图，圆O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使得CD=AC，连结AD交圆O于点E，连结BE与AC交于点F，求证：AE2=EF•BE．
正确答案
解析
解：∵△ACD中，CD=AC，∴∠CAD=∠D
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D
∵△ABC中，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB
∵∠ACB=∠CAD+∠D=2∠D
∴∠ABC=2∠D=2∠EBC，从而∠ABE=∠EBC=∠FAE
又∵∠AEB=∠FEA，∴△AEB∽△FEA
由此可得
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