热门试卷

证明：如图所示，

由AE是∠A的平分线，

∴，，

∵在△ABC中∠C=90°，CH⊥AB．

∴AC2=AH•AB，即．

∴．

∵DF∥AB，

∴，

∴，

∴（BF+FE）•BF=EC•（EC+EF），

∴（BF-EC）•BC=0，

∴BF=EC．

证明：（1）∵CD平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵AC∥BE，

∴∠ACE=∠BEC，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE，

∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠BDF=∠BFD，

∴DB=BF

（2）∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点D，

∴D到AB，AC的距离相等，

∴AD平分∠BAC；

（3）作∠ABM=∠BCD，交AC于M，则

∵AB=BC，∠BAM=∠CBD，

∴△ABM≌△BCD，

∴AM=BD，

∵∠CBM=∠CMB=67.5°，

∴CM=BC，

∴AC=AM+CM=BD+BC．

解：（1）①如图2，Rt△OBC中，BC=2，OB=1，

根据勾股定理，得OC==，

∴C点下滑的距离d=2-，

又∵Rt△OBC中，tan∠CBO==，

∴∠CBO=∠ACy=60°，

可得直线AC的倾斜角为90°-60°=30°，AC的斜率为k=tan30°=．

∵直线AC经过点C（0，）

∴AC所在的直线解析式为：；

②当C点下滑距离CN与B点右滑距离BM相等时，△OBC≌△ONM，

此时∠CBO=∠MNO=60°，可得ON=OB=1，

∴CN=CO-ON=-1，

即继续滑动-1时，可使C点下滑距离CN与B点右滑距离BM相等；　　　　　　　　　　

（2）连接OP，则Rt△OBC中，OP是斜边BC上的中线，

∴OP=BC=1，可得点P在以O为圆心、半径r=1的圆上运动．

由此可得：P点的移动路径是以O为圆心、圆心角等于90°的弧，

其长度为L==；

（3）∵Rt△ACP中，AC=，PC=BC=1，

∴AP===；

又∵OP=BC=1，OP、AP都是定长

∴当O、P、A三点共线时，A到原点O的距离最大．最大距离为OP+PA=1+，

过A作AH⊥y轴，与BC的延长线交于点D，

∵AD∥OB，∴△POB∽△PAD，结合PB=OP得PD=AP=

由此可得DC=PD-CP=-1=，

又∵Rt△ACD∽Rt△OHA，AC=，

∴，

∵OA=，∴OH=3AH，

又∵Rt△OHA中，OA==，

∴AH=，OH=，可得点A的坐标（，）．

证明：设AF的延长线交⊙BDF于K，

∵∠AEF=∠AKB，

∴△AEF～△AKB，因此．

于是要证CD•EF+DF•AE=BD•AF（1），只需证明：CD•BK+DF•AK=BD•AB（2）

又注意到∠KBD=∠KFD=∠C．

我们有

进一步有

因此要证（2），只需证明S△ABD=S△DCK+S△ADK（3）

而（3）⇔S△ABC=S△AKC⇔BK∥AC（4）

事实上由∠BKA=∠FDB=∠KAC知（4）成立，得证．