- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（1）求证：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的长．
正确答案
（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（2）由（1）得，
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
解析
（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（2）由（1）得，
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆O交于F，若∠CFE=40°则∠DEB=______．
正确答案
40°
解析
解：∵直径AB和弦DE互相垂直
∴AB平分DE
∴BD=BE，∠D=∠BED
∵DEFB四点共圆
∴∠EFC=∠D=40°．
∴∠DEB=40°．
故答案为：40°．
（Ⅰ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长．
正确答案
解：
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，证毕．（5分）
（Ⅱ）连接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，（7分）∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．（10分）
解析
解：
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，证毕．（5分）
（Ⅱ）连接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，（7分）∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．（10分）
正确答案
证明：在△ABM与△AND中，
∠BAM=∠NAD=90°
∠AMB=∠ADN=90-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB：AN=AM：AD，
AN•AM=AB•AD①
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC2=AM•AN②
由①，②得AC2=AB•AD．
解析
证明：在△ABM与△AND中，
∠BAM=∠NAD=90°
∠AMB=∠ADN=90-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB：AN=AM：AD，
AN•AM=AB•AD①
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC2=AM•AN②
由①，②得AC2=AB•AD．
正确答案
解析
解：由题意，∠ECD=∠DBC=∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD=3，
∵∠AFB=∠DFC，∠ABF=∠DCF，
∴△ABF∽△DCF，
∴
∵BD=4，∴DF=
△ABD中，cos∠ABD=
△CFD中，
∴CF=
故答案为：
扫码查看完整答案与解析