- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图，以椭圆
（1）证明c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明
正确答案
（1）证明：由题设条件知，
即
解：在
于是，直线OA的斜率
设直线BF的斜率为k，则
这时，直线BF的方程为
令x=0，则
所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）；
（2）证明：由（1），得直线BF的方程为y=kx+a，且
由已知，设
则它们的坐标满足方程组
由方程组③消去y，并整理得
由式①、②和④，
由方程组③消去x，并整理得
由式②和⑤，
综上，得到
注意到
得
如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1 是正方形，O是BD的中点，E是棱AA1上任意一点。
（1）证明：BD⊥EC1；
（2）如果AB=2，AE=
正确答案
解：（1）连接AC，AE⊥CC1?E，A，C，C1共面，
长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1B1C1D1是正方形
AC⊥BD，EA⊥BD，AC∩EA=A?BD⊥平面EACC1?BD⊥EC1；
（2）在矩形ACC1A1中，OE⊥EC1?△OAE∽△EA1C1。
AB=2，AE=
如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上一点，AE=AC，DE交AB于点F，且AB=2BP=4。
（1）求线段PF的长度；
（2）若圆F与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度。
正确答案
解：（1）连接OC，OD，OE，由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得∠CDE=∠AOC
又∠CDE=∠P+∠PFD，∠AOC=∠P+∠OCP，
从而∠PFD=∠OCP，
故△PFD∽△PCO，
由割线定理知PC·PD=PA·PB=12，
故
（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，
因为OF=2-r=1，即r=1，
所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT
则PT2=PB·PO=2×4=8，即
如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E。
（1）求证：AB2=DE·BC；
（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长。
正确答案
解：（1）∵AD∥BC，
∴AB=CD，∠EDC=∠BCD，
又PC与⊙O相切
∴∠ECD=∠DBC，
∴△CDE∽△BCD ，
∴
∴CD2=DE·BC，即AB2=DE·BC。
（2）由（1）知，DE=
∵△PDE∽△PBC，
∴
又∵PB-PD=9，
∴
∴
∴
如图，AB，CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC=ED=1，PA=2，
(1)求AC的长；
(2)求证：EF=BE。
正确答案
解：(1)因为PA2=PC·PD，PA=2，PC=1，
所以PD=4，
又因为PC=ED=1，所以CE=2，
易知四边形ABEC为平行四边形，
则AB=CE=2，
因为∠PAC=∠CBA，∠PCA=∠CAB，
所以△PAC∽△CBA，
所以
所以AC2=PC·AB=2，
所以
(2)因为CE·ED=BE·EF，BE=AC=
所以
所以EF=BE。
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