- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。
（1）证明：△ABE∽△ADC；
（2）若△ABC的面积
正确答案
解：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，
可得∠BAE=∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，
所以∠AEB=∠ACD
故△ABE∽△ADC；
（2）因为△ABE∽△ADC，
所以
即AB·AC=AD·AE
又S=
且
故AB·ACsin∠BAC=AD·AE
则sin∠BAC=1，
又∠BAC为三角形内角，
所以∠BAC=90°。
选做题
如图，△ABC是内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，弦BD∥MN，AC与BD相交于点E．
（1）求证：△ABE≌△ACD；
（2）若AB=6，BC=4，求AE．
正确答案
（1）证明：在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD
又∠BAE=∠EDC
∵BD∥MN ∴∠EDC=∠DCN
∵直线是圆的切线，
∴∠DCN=∠CAD
∴∠BAE=∠CAD
∴△ABE≌△ACD
（2）解：∵∠EBC=∠BCM∠BCM=∠BDC
∴∠EBC=∠BDC=∠BACBC=CD=4
又∠BEC=∠BAC+∠ABE=∠EBC+∠ABE=∠ABC=∠ACB
∴BC=BE=4
设AE=x，易证△ABE∽△DEC
∴
∴DE=
又AE·EC=BE·ED EC=6﹣x
∴4×
∴x=
（选做题）如图，AB是
（1）
（2）
正确答案
证明：（1）连接
又
则
（2）在
又
又
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD，CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F。求证：
（1）∠DEA=∠DFA；
（2）AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
解：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A，D，E，F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA。
（2）由（1）知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
即AB·AF=AE·AC
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB（BF-AF）=AB2。
（选做题）如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E，证明：
（1）AC·BD=AD·AB；
（2）AC=AE。
正确答案
证明：（1）由AC与⊙O′相切于A，得∠CAB=∠ADB，
同理∠ACB=∠DAB，
所以△ACB∽△DAB，从而
即AC·BD=AD·AB。
（2）由AD与⊙O相切于A，得∠AED=∠BDA，又∠ADE=∠BDA，
得△EAD∽△ABD，从而
即AE·BD=AD·AB
结合（1）的结论，AC=AE。
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