- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
（选做题）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB。
证明：（1）CD=BC；
（2）△BCD～△GBD。
正确答案
证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点
∴DE∥BC
∵CF∥AB，
∴四边形BCFD是平行四边形
∴CF=BD=AD
∵CF∥AD 连接AF，则四边形ADCF是平行四边形，
∴CD=AF
∵FG∥BC，∴GB=CF
∴BD=CF，
∴GB=BD
∴∠DGB=∠BDG
∵CF∥AB，
∴AF=BC
∵AF=CD，
∴BC=CD，
（2）由（1）知∠DBC=∠BDC
∵∠EFC=∠DBC=∠DGB
∴∠DGB=∠DBC，∠GDB=∠BDC
∴△BCD～△GBD 。
如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD，
(1)求证：EF·EP= DE·EA；
(2)若EB=DE=6，EF=4，求PA的长．
正确答案
解：(1)∵CD∥AP，
∴∠ECD=∠APE，
∵∠EDF=∠ECD，
∴∠APE=∠EDF，
又∵∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA，
∴DE：PE=EF：EA，即EF·EP=DE·EA。
(2)∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED，
∴△DEF∽△CED，
∴DE：EC=EF：DE，
∴DE2=EF·EC，
∵DE=6，EF=4，
∴EC=9，
∵弦AD、BC相交于点E，
∴DE·EA=CE·EB，
∴CE·EB=EF·EP，
∴9×6=4·EP，解得：
∴PB=PE-BE=
由切割线定理得：PA2=PB·PC，
∴
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是
（1）求证：CD2=DE·DB；
（2）若
正确答案
解：（1）证明：连接OD，DC，由已知∠ABD=∠CBD，
又∵∠ECD=∠ABD
∴∠CBD=∠ECD，
又∴∠BDC=∠EDC，
∴△BCD∽△CED
∴
即CD2=DE·DB。
（2）∵D是
∴OD⊥AC，垂足为F，
在Rt△CFO中，OF=1，OC=R，
在Rt△CFD中，DC2=CF2+DF2∴（2
整理得R2-R-6=0，R=3。
如图，直线AB经过圆上O的点C，并且OA=OB，CA=CB，圆O交于直线OB于E，D，连接EC，CD，若tan∠CED=
正确答案
解：连接OC，
∵△AOB中，OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB
∵OC是圆O的半径，
∴AB与圆O相切于C点．
又∵ED是圆O的直径，
∴∠ECD=90°，
可得∠E+∠EDC=90°
∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC
∴∠BCD=∠E
又∵∠CBD=∠EBC
∴△BCD∽△BEC，
可得BC2=BEBD…①
∵Rt△CDE中，tan∠CED=
∴
设BD=x，则BC=2x代入①，得（2x）2=x（x+6），
解之得x=2
∴OA=OB=BD+OD=5
（选做题）
如图圆O和圆O′相交于A，B两点，AC是O′圆的切线，AD 是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD。
正确答案
解：易证
所以
BD=8。
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