- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点。
（1）求证：AD∥OC；
（2）若⊙O的半径为1，求AD·OC的值。
正确答案
解：（1）如图，连接BD、OD
∵CB、CD是⊙O的两条切线
∴BD⊥OC，
∴∠2+∠3=90°
又AB为⊙O直径，
∴AD⊥DB，∠1+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴AD∥OC 。
（2）AO=OD，则∠1=∠A=∠3
∴Rt△BAD∽Rt△ODC，
∴AD·OC=AB·OD=2。
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，连结EC、CD。
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=
正确答案
（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线。
（2）解：∵ED是直径，
∴∠ECD=90°，
∴∠E+∠EDC=90° ，
又∵∠BCD+∠OCD=90°，∠OCD=∠ODC，
∴∠BCD=∠E，
又∵∠CBD=∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，
∴
∵tan∠CED=
∵△BCD∽△BEC，
∴
设BD=x，则BC=2，
又BC2=BD·BE，
∴（2x）2=x·（x+6），解得：x1=0，x2=2，
∵BD=x＞0，∴BD=2，
∴OA=OB=BD+OD=3+2=5。
（选做题）
如图，AB是⊙O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．
求证：(1)∠DEA=∠DFA；
(2)AB2=BE·BD-AE·AC。
正确答案
证明：(1)连结AD，因为AB为圆的直径，
所以∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°，
则A、D、E、F四点共圆，
∴∠DEA=∠DFA；
(2)由(1)知，BD·BE=BA·BF，
又△ABC∽△AEF，
∴
∴BE·BD-AE·AC=BA·BF-AB·AF=AB(BF-AF)=AB2。
如图，梯形ABCD内接于圆O，AD∥BC，过点C作圆O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．
(Ⅰ)求证：AB2=DE·BC；
(Ⅱ)若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．
正确答案
解：(Ⅰ)∵AD∥BC，
∴
又PC与圆O相切，
∴
∴
∴
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，
∵
∴
又∵
∴
∴
如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，求证：BE·BF=BC·BD。
正确答案
解：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG∥AD
∴∠GBC=∠FDB，
又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF
∴
即BE·BF=BC·BD。
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