- 相似三角形的判定及有关性质
- 共439题
（选做题）几何证明如图，BA是⊙O的直径，AD是切线，BF、BD是割线，
求证：BE●BF=BC●BD．
正确答案
证明：证法一：连接CE，过B作⊙O的切线BG，则BG
∴∠GBC=∠FDB，又∠GBC=∠CEB
∴∠CEB=∠FDB
又∠CBE是△BCE和△BDF的公共角
∴△BCE∽△BDF
∴
即BE●BF=BC●BD
证法二：连续AC、AE，
∵AB是直径，AC是切线
∴AB⊥AD，AC⊥BD，AE⊥BF
由射线定理有AB2=BC●BD，AB2=BE●BF
∴BE●BF=BC●BD
（选做题）
如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点，若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E。求AD·DE的值。
正确答案
解：连结CE，
∵
∴
又∵PA与⊙O相切于点A，
∴
∴
∴
∵BC为⊙O的直径，
∴
可解得
又∵AE平分∠BAC，
∴
又∵
∴
∴
选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为线段PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点．
求证：∠DPB=∠DCP．
正确答案
证明：因为PA与圆相切于A，所以DA2=DB•DC，（3分）
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP2=DB•DC，即
因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，（9分）
所以∠DPB=∠DCP．（10分）
（选做题）
如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F.
（1）求
（2）若△BEF的面积为S1，四边形CDEF的面积为S2，求S1：S2的值．
正确答案
证明：（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G 点，
∵E是BD的中点，
∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DE G，
∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，
∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，
则BF：FC=1：2；
即
（Ⅱ）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知h1：h2 =1：2，其中h1、h2分别为△BEF和△BDC的高，
则
（选做题）如图，⊙O和⊙O'相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB并延长交⊙O于点E。
证明：（1）AC·BD=AD·AB；
（2）AC=AE。
正确答案
证明：（1）∵AC与⊙O'相切于点A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，
∴
∴AC?BD=AD?AB。
（2）∵AD与⊙O相切于点A，
∴∠AED=∠BAD，
又∠ADE=∠BDA，
∴△EAD∽△ABD，
∴
∴AE?BD=AD?AB
再由（1）的结论AC?BD=AD?AB 可得，AC=AE。
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