相似三角形的判定及有关性质
共439题

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相似三角形的判定及有关性质
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题型：简答题

简答题

如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A=∠C，PD=2DA=2，求PE的长．

正确答案

解：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，

在圆中∠BCD=∠BAD，∴∠PED=∠BAD，

∴△EPD∽△APE，

∴

∵PD=2DA=2

∴PE2=PA•PD=3×2=6，

∴PE=．

解析

解：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，

在圆中∠BCD=∠BAD，∴∠PED=∠BAD，

∴△EPD∽△APE，

∴

∵PD=2DA=2

∴PE2=PA•PD=3×2=6，

∴PE=．

题型：简答题

简答题

已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，DF⊥AC，垂足为F，DE⊥AB，垂足为E．

求证：（Ⅰ）AB•AC=AD•BC；

（Ⅱ）AD3=BC•BE•CF

正确答案

（Ⅰ）证明：因为Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．

显然△ABD∽△CBA

∴，即AB•AC=AD•BC

（Ⅱ）∵由射影定理知AD2=AE•AB

又由三角形相似可知，且DF=AE

∴AE•AB•AD=BC•CF•BE，结合射影定理

∴AD3=BC•BE•CF．

故得证．

解析

（Ⅰ）证明：因为Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC．

显然△ABD∽△CBA

∴，即AB•AC=AD•BC

（Ⅱ）∵由射影定理知AD2=AE•AB

又由三角形相似可知，且DF=AE

∴AE•AB•AD=BC•CF•BE，结合射影定理

∴AD3=BC•BE•CF．

故得证．

题型：简答题

简答题

（2015秋•赤峰校级月考）如图，过点P作圆O的割线PBA与切线PE，E为切点，连接AE，BE，∠APE的平分线与AE，BE分别交于点C，D．

（1）求证：=；

（2）若∠PCE=2∠AEB，求∠PDB的大小．

正确答案

（1）证明：由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，

则△PED∽△PAC，则=①，

又PD平分∠BPE，∴=②，

∵PE2=PA•PB，

∴①×②可得：=（5分）

（2）解：∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，

∴∠PCE+∠AEB+∠EDC=180°，

∴∠AEB=36°，

∴∠PDB=72°．（10分）

解析

（1）证明：由题意可知，∠EPC=∠APC，∠PEB=∠PAC，

则△PED∽△PAC，则=①，

又PD平分∠BPE，∴=②，

∵PE2=PA•PB，

∴①×②可得：=（5分）

（2）解：∠PCE=∠A+∠APC=∠PED+∠EPC=∠EDC=∠PDB，

∴∠PCE+∠AEB+∠EDC=180°，

∴∠AEB=36°，

∴∠PDB=72°．（10分）

题型：简答题

简答题

如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，求 BD的长．

正确答案

解：AB==5．

∵AC是⊙O的直径，AC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

∴BC2=BD•BA，

∴==．

解析

解：AB==5．

∵AC是⊙O的直径，AC⊥BC，∴BC是⊙O的切线．

∴BC2=BD•BA，

∴==．

题型：简答题

简答题

选做题：几何证明选讲

如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．

（1）求证：E是AB的中点；

（2）求线段BF的长．

正确答案

（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，

所以，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以．…（5分）

所以E是AB的中点．

（2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得，

∵ABCD是边长为a的正方形，

所以．…（10分）

解析

（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO=∠FDO，

因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，

所以，即∠CDO=∠BCE，

故Rt△CDO≌Rt△BCE，

所以．…（5分）

所以E是AB的中点．

（2）解：连接BF，

∵∠BEF=∠CEB，∠ABC=∠EFB

∴△FEB∽△BEC，

得，

∵ABCD是边长为a的正方形，

所以．…（10分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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